Dubbelintegral (behöver tolk)

Med risk för att ha fel här: Vilken variabel ska vara innerst? Ska det vara $\iint \left[\mathrm{matte}\right]dx dy$ eller $\iint \left[\mathrm{matte}\right]dy dx$?

Det var vad jag fruktade....

Hur väljs detta kandidat? (jag tror jag borde kanske fortsätta imorgon :D)

Pröva och se vad som går. Kalla funktionen för $f(x,y)$ och försök ställa upp gränserna för:

$\displaystyle \iint_{\Omega}$$f(x,y)\ dy\ dx$

Du kommer märka att det är betydligt enklare att "rama in" den ena variabeln med konstanter, alltså ska man ha den ytterst.

Jag har tittat på faciten, men ändå är jag inte med.

Vi har ju konstanter för både $x \left[0,3\right]$ OCH $y \left[0,1\right]$....

Så du menar så här?

$\displaystyle \int_0^3 \int_0^1$$f(x,y)\ dy\ dx$

Detta integrerar ju över en rektangel, inte en parallellogram.

Jag får det till:

$\displaystyle \int_0^1 \int_{y}^{y+2}$$f(x,y)\ dx\ dy$

Det blir mycket krångligare om du försöker ställa upp det med $y$ innerst.

Sorry Alvin, ... hur får du $y+2$? Nu resonerar igen min öronbedövande okunskap. Typ.

Området kan ju ramas in i $x$-led av funktionerna $x=y$ och $x=y+2$. Alltså är dessa integrationsgränserna i $x$-led.

AlvinB skrev:

Så du menar så här?

$\displaystyle \int_0^3 \int_0^1$$f(x,y)\ dy\ dx$

Detta integrerar ju över en rektangel, inte en parallellogram.

Jag får det till:

$\displaystyle \int_0^1 \int_{y}^{y+2}$$f(x,y)\ dx\ dy$

Det blir mycket krångligare om du försöker ställa upp det med $y$ innerst.

 Tack för bilden. Det blev mycket tydligare.

Om vi ville ha skrivit det med $y$, vore det nu:

$\int_y^{y+2}\int_0^{x+1}$$f(x,y)\;dy\;dx$

dajamanté skrev:

AlvinB skrev:

Så du menar så här?

$\displaystyle \int_0^3 \int_0^1$$f(x,y)\ dy\ dx$

Detta integrerar ju över en rektangel, inte en parallellogram.

Jag får det till:

$\displaystyle \int_0^1 \int_{y}^{y+2}$$f(x,y)\ dx\ dy$

Det blir mycket krångligare om du försöker ställa upp det med $y$ innerst.

 Tack för bilden. Det blev mycket tydligare.

Om vi ville ha skrivit det med $y$, vore det nu:

$\int_y^{y+2}\int_0^{x+1}$$f(x,y)\;dy\;dx$

 Pröva alltid att rita!

Det området som din integral integrerar över är faktiskt oändligt stort:

$y=x+1$ sätter ju inte någon begränsning på området eftersom $y$ alltid är mindre än $x+1$, oavsett värden på $x$ eller $y$.

Sen får man heller inte ut något värde ur din integral eftersom du har funktioner av $y$ som yttre integrationsgränser. Pröva ta en enkel funktion till att vara $f(x,y)$ och integrera. Du kommer märka att man får ut ett uttryck i $y$ istället för ett faktiskt värde. För att integralen ska ge ett värde måste man alltid ha konstanter som yttre gränser.

Jag kan säga så här: Det går inte att ställa upp integralerna med $y$ innerst om man inte delar upp området eller använder sig av styckvisa funktioner som integrationsgränser. Båda av dessa är mycket krångligare än att bara ställa upp det hela med $x$ innerst som jag gjorde.

Hmm jag är inte säkert jag är med (euphémisme: jag fattar inget)

Hade det funkat med $y=x-1$ då?

Så du menar att, bottom linje är att man måste välja konstanter för den yttre integral?

Och hur färgar du din parallélogramme i desmos?

Om man skulle integrera med x innerst, skulle man behöva dela in intervallet i x-led i tre delar - från 0 till 1, från 1 till 2 och från 2 till 3. I det första intervallet är y = x överfunktion och y = 0 underfunktion, i andra intervallet är det y = 1 respektive y = 0 och i det tredje intervallet är det y = 1 respektive y = x+2.