Dubbelintegral: hur sätter man gränser?

Det låter väldigt dramatisk, men jag fattar inte den här med gränserna till den inre intervall.

Jag har 2 exempel. Beräkningarna är inte svara, bara att man sätter rätt gränser. (#usefulllifeskill)

$\iint \frac{y d x d y}{1 + x}$ i område $x^{2} + y^{2} \leq 1$ , dvs första kvadranten.

Så vi integrerar såklart med avseende på y först.

Men hur bestäms gränserna? Varför (jag har facit) är det från $\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ? Alltså vi löser ut $y$ ifrån $x^{2} + y^{2} = 1$ , men varför?

Jag tror jag förstår att gränserna till $dx$ är $\int_{0}^{1}$ , men jag kanske förstår det på felaktiga baser, så ni får gärna förklara också. Bättre säker på Pluggakuten än ledsen efter prov, som jag brukar säga.

Exempel 2:

$\iint x^{2} y d x d y$ , i intervallet mellan $y = 1$ och $y = x^{2}$ , en slags första kvadrant men flippat up och ner.

Än en gång vi integrerar först med avseende på $y$ som är enklast, men hur blir gränserna: $\int_{x^{2}}^{1}$ ? Och samma för $dx$ gränserna som är $\int_0^1$ .

Varför säger du att området $x^2+y^2 \leq 1$ ligger i första kvadranten? Det gör det bara delvis - området är en cirkel med centrum i origo och radien 1. Står det något mer i uppgiften som du inte har skrivit av?

Nej, du är alldeles rätt! Det står bara i uppgiften att vi jobbar i första kvadranten. Det är jag som låg på ''dvs'', den framgick inte.

Har du ritat upp området? (På första uppgiften kan man kanske tänka sig området "i huvudet" utan att rita, men på exempel 2 skulle jag absolut rita upp området innan jag försöker integera!)

Om vi löser ut y ur $x^2+y^2=1$ får vi fram funktionen $y= \sqrt{1-x^2}$ . Vi vet att området vi vill integrera över ligger mellan den kurvan och x-axeln, d v s y = 0. När vi integrerar m a p y är x en konstant, så det blir hyfsat lätt att hitta en primitiv funktion. När vi gjort detta och sätter in först övre gränsen $y= \sqrt{1-x^2}$ och sedan undre gränsen $y=0$ i den primitiva fuktionen, får vi en funktion som bara beror på x. Denna kan vi sedan integrera mellan 0 och 1 m a p x.

Ok. Tack Belle Émeraude, nu börjar det att klarna:

Här är mitt film som illustrerar händelseförlop: http://sketchtoy.com/68663090

Är det detta som du menar?

Jag tror det, om du menar det som jag skulle ha menat om jag hade lagt upp samma film.

Nu förstår jag inte vad du menar, men jag antar att du gillar min action film :)

Svara

Visa senaste svar