5 svar
67 visningar
Kovac är nöjd med hjälpen
Kovac 103
Postad: 30 nov 2020 10:42

Dubbelintegral med polära koordinater

Uppgift 7.25

Så jag har skrivit om området och fått x=1+rcos phi och y=-3 + rsin phi. Vilket ger: det i mitten kan förenklas till:

Men nu ska jag integrera med avseende på theta. Gör jag rätt när jag sätter u=sin theta på sista termen? Blir hela detta ovan med integrering m.ap theta detta? -->

där jag sätter in 2 pi in i vinklarna? det jag får då är:

stämmer detta? svaret ska bli -48pi men vet inte om jag gjort rätt?  För om jag sätter in 4 i den sista ekvationen får jag -24 (pi/2) -64 +64(pi/4) vilket inte är 48pi?

Jroth 1191
Postad: 30 nov 2020 11:09 Redigerad: 30 nov 2020 11:18

Hej Kovac,

Det ser helt rätt ut fram till integrationen med avseende på θ\theta. Här tänkte jag introducera några tips. Av symmetri kommer termer som sin(θ)=cos(θ)=sin(2θ)=0\int \sin(\theta)=\int \cos(\theta)=\int \sin(2\theta)=0 på intervallet [0,2π][0,2\pi] (den sista likheten kommer från omskrivningen sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)). Det enda som "överlever" är termen -3rθ-3r\theta.

04-3r[θ]02πdr=-6π04rdr=-6π[r22]04=-48π\displaystyle \int_0^4 -3r[\theta]_0^{2\pi}\,\mathrm{d}r=-6\pi\int_0^4 r\,\mathrm{d}r=-6\pi[\frac{r^2}{2}]_0^4=-48\pi

Kovac 103
Postad: 30 nov 2020 11:46 Redigerad: 30 nov 2020 11:57
Jroth skrev:

Hej Kovac,

Det ser helt rätt ut fram till integrationen med avseende på θ\theta. Här tänkte jag introducera några tips. Av symmetri kommer termer som sin(θ)=cos(θ)=sin(2θ)=0\int \sin(\theta)=\int \cos(\theta)=\int \sin(2\theta)=0 på intervallet [0,2π][0,2\pi] (den sista likheten kommer från omskrivningen sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)). Det enda som "överlever" är termen -3rθ-3r\theta.

04-3r[θ]02πdr=-6π04rdr=-6π[r22]04=-48π\displaystyle \int_0^4 -3r[\theta]_0^{2\pi}\,\mathrm{d}r=-6\pi\int_0^4 r\,\mathrm{d}r=-6\pi[\frac{r^2}{2}]_0^4=-48\pi

Tack för tipset, då är jag med. Men vad gör jag för fel i min integrering? Är det den sista termen som blir fel? Tänkte att u=sin theta, dtheta = du/cos och då tas cos ut och kvar blir thetasin theta /2 då u =u22 ?

eller är det att d theta = du/cos theta?

Jroth 1191
Postad: 30 nov 2020 20:14 Redigerad: 30 nov 2020 20:14

Det blir det sistnämnda, dvs

u=sin(θ)u=\sin(\theta)

du=cos(θ)dθdu=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta

Vilket ger att att integralen

sin(θ)cos(θ)dθ=sin2(θ)2+C\displaystyle \int \sin(\theta)\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{\sin^2(\theta)}{2}+C

För de aktuella gränserna inser man att integralen över intervallet blir 0.

Kovac 103
Postad: 30 nov 2020 21:00
Jroth skrev:

Det blir det sistnämnda, dvs

u=sin(θ)u=\sin(\theta)

du=cos(θ)dθdu=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta

Vilket ger att att integralen

sin(θ)cos(θ)dθ=sin2(θ)2+C\displaystyle \int \sin(\theta)\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{\sin^2(\theta)}{2}+C

För de aktuella gränserna inser man att integralen över intervallet blir 0.

Tack! Stämmer det att sin(kpi)=0 för alla k? dvs sin(4pi) = 0, sin(8pi)=0?

Laguna Online 15972
Postad: 30 nov 2020 21:04

Alla heltal k, ja.

Svara Avbryt
Close