Dubbelintegral, variabelbyte

Hej, behöver hjälp med följande fråga:

Beräkna: $$\begin{gathered} \iint \ln (1+x^2+y^2)dxdy, ∆=\left\{(x,y); 1⩽x^2+y^2⩽2\right\} \\ ∆ \end{gathered}$$

Jag får det till att området är en cirkel med radie två men där enhetscirkeln inte ingår och att det därmed bör vara lämpligt med variabelbytet: $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos t\\ y=r\sin t\end{array}, \begin{array}{c}1⩽r⩽2\\ 0⩽t⩽2\mathrm{\pi }\end{array}\right\}$, nya området blir då rektangeln som utgörs av r och t, där jag tänker att t är på min lodräta axel och r är på min vågräta. Skalfaktorn från funktionaldeterminanten får jag till r, så den nya dubbelintegralen blir då:

$$\begin{gathered} \iint \ln (1+r^2)rdrdt, E=\left\{(r,t); 1\le r\le 2, 0\le t\le 2\mathrm{\pi }\right\} \\ E \end{gathered}$$, sen delar jag upp den här och börjar integrera m.a.p r och får då att 

${\int }_1^2\ln (1+r^2)rdr\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)-3}{2}$, integrerar sen m.a.p t, ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\frac{5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)-3}{2}dt =\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }\left(5\ln \right(5)-2\ln (2)-3)$

Enligt facit ska svaret till uppgiften vara: $\mathrm{\pi }\left(\ln \right(\frac{27}{4})-1)$

Var i processen går jag fel? Känner på mig att det är redan i variabelbytet, men förstår inte varför det är fel isf. Är väl mer eller mindre en standardstrategi att skriva om cirklar m.h.a polära koordinater för att få ett behagligare område att räkna över?

Har inte skrivit ut alla led där jag beräknar primitiven till mina funktioner, om det behövs för att det ska vara möjligt att hjälpa mig så gör jag självklart det.

Tack på förhand.

Mvh