Dynamik - energi

Jämviktsläget är vid längden $l_1$, "det slutliga läget då alla svängningar har klingat av". Det nedre vändläget är vid vattenytan, det står att hopparen "når nätt och jämt vattenytan".

Vid jämviktsläget så gäller det att mg = k(l₁-l₀), vilket ger k = mg/(l₁-l₀).

Om vi kallar avståndet till bron l och ser neråt som positiv riktning så är kraften (då l $\ge$ l₀)

F = -k(l-l₀) + mg = med utnyttjande av uttrycket för mg ovan = -k(l-l₁). Denna kraft kan genereras från en potentiell energi V där

V = $\frac{k}{2}{\left(l-l_1\right)}^2$. Notera att F = $-\frac{\partial V}{\partial l}$.

Den mekaniska energin E = V + K är därför bevarad. K är kinetisk energi.

Då l = h så är K = 0. Vi har därför att E = $\frac{k}{2}{\left(h-l_1\right)}^2$. Hastigheten är max då F = 0, dvs då l = l₁ och V(l₁) = 0,  så att

 $K=\frac{1}{2}m{v}^2=E=\frac{mg{\left(h-l_1\right)}^2}{2\left(l_1-l_0\right)}$.

Där vi satt in uttrycket för k från ovan. Vi får då att

$v_{max}=\frac{\left(h-l_1\right)\sqrt{g}}{\sqrt{l_1-l_0}}$.

Vi vet vidare att K = mgl₀ då l = l₀. Således har vi

$\frac{mg{\left(h-l_1\right)}^2}{2\left(l_1-l_0\right)}=\frac{mg{\left(l_0-l_1\right)}^2}{2\left(l_1-l_0\right)}+mg{l}_0$, från vilket det går att räkna ut l₀.

Sedan återstår bara att lista ut när kraften är max och sedan räkna ut den maximala accelerationen. Notera att kraften är mg då l $<$ l₀. Så man måste avgöra om den maximala kraften då l $\ge$ l₀ är större eller mindre än mg för att göra rätt.