e^z

$\pi$ motsvara ett halvt varv. Så om man går ett halvt varv motsols från positiva reella axeln, så hamnar man vid den negativa axeln. Därför så får man $\pi$ och inte $\pi/2$. Med $\pi/2$ hade man bara nått ett fjärdedelsvarv, man skulle befinna sig vid positiva imaginära axeln.

Du ska bestämma z så att $e^z = -2$, därför börjar man med att låta $z = x + iy$.

Nu använder man att $e^z = e^{x + iy} = e^x \cdot e^{iy}$, notera här att beloppet på $e^{iy}$ alltid är ett. Därför har man att

$e^z = -2$

$e^x \cdot e^{iy} = -2$

$|e^x \cdot e^{iy}| = |-2|$

$|e^x| \cdot |e^{iy}| = 2$

$e^x = 2$

Därför kan vi nu lösa ut x och få att $x = \ln(2)$. Sedan behöver vi bestämma $y$ så att $e^{iy} = -1$, detta är enkelt eftersom vi då bara behöver välja $y = \pi$ (använd eulers formel för att verifiera detta om du känner dig osäker).

Därför har vi att $z = x + iy = \ln(2) + i\pi$.

Jag förstår inte många saker. 

1. Jag antar att eftersom det handlar om -2 så ligger det på pi/2 därför valde jag pi/2. Men varför blir det pi? Förstår fortfarande inte. Vad är det de kollar på?

2. Vad menar du med att absolutbeloppet på e^(iy) är ett. Hur ser man det? 

3. Vad menar du med att "Sedan behöver vi bestämma y så att e^(iy) = -1. Varför -1? Och vad menar du att jag ska verifera med eulers formel att y= pi? 

Är fortfarande nybörjare inom detta, därmed mina fleera frågor. 

1. Var hittar du talet -2 i det komplexa talplanet?

2. e^(iy) är definierat så.

3. Om två komplexa tal skall vara lika, så måste både realdelen och imaginärdelen vara lika. Här försöker man att hitta det värde på y som får de båda imaginärdelarna att bli lika.

3. Förstår jag inte fortfarande. 

1. Det ser ut såhär

Den vinkel jag har markerat är $\pi$ radianer. Tänk på att ett helt varav är $2\pi$ så ett halvt varav är $\pi$.

2. Man ser det från att

$\left|e^{iy}\right|=\left|\cos \right(y)+i\sin (y\left)\right|=\sqrt{{\cos }^2\left(y\right)+{\sin }^2\left(y\right)}=\sqrt{1}=1$

3. Eftersom vi vill att $e^x \cdot e^{iy} = -2$ och vi har redan bestämt att $e^x =2$ så får vi att det måste gälla att $e^{iy} = -1$. Man kan verifiera att $y = \pi$ löser detta genom att

$e^{i\mathrm{\pi }}=\cos \left(\mathrm{\pi }\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{\pi }\right)=-1+\mathrm{i}·0=-1$

Det är bara bra att du kommer med uppföljningsfrågor, det är inte alltid lätt att veta vad man ska lägga fokus på och förklara så det är bara välkommet om du ställer mer frågor. Så fråga på!

Tack, tack, tack och återigen tack! Mycket uppskattat.