Egenvärde till matris med kolonnsummor = 1

Hej, sitter på följande fråga:

" Låt A vara en kvadratisk matris sådan att summan av elementen i varje kolonn är 1. Visa att A har egenvärdet 1. "

Jag förstår inte. Om jag har en vektor x, då blir ju Ax = (a₁₁x₁ + a₁₂x₂...a_1nx_n, a₂₁x₁ +a₂₂x₂...,a_n₁x₁+a_n2x₂...a_nnx_n)

( kan inte skriva matriser på mobilen:()

Alltså är varje koordinat i Ax = RADERNA × x1,x2 etc. Så då ska alltså summan a₁₁x₁ + a₁₂x₂...a_1nx_n= x₁? Varför då...?

Jag fattar verkligen inte

Hej! Uppgiften verkar klurig. Jag har en lösning för en matris av storlek 3x3 men argumentet fungerar helt analogt för större matriser, blir dock jobbigare att skriva upp på datorn :( . Låt oss betrakta matrisen $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]$ med villkoren $\{\begin{array}{l} a_{11} + a_{21} + a_{31} = 1 \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} = 1 \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{31} = 1 - a_{11} - a_{21} \\ a_{32} = 1 - a_{12} - a_{22} \\ a_{33} = 1 - a_{13} - a_{23} \end{cases}$

Att A har egenvärdet 1 är ekvivalent med den karakteristiska ekvationen (eller härled från Av=v) att

$|\begin{matrix} a_{11} - 1 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - 1 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - 1 \end{matrix}| = 0$ . Genom att utnyttja villkoret ovan kan determinanten skrivas som

$|\begin{matrix} a_{11} - 1 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - 1 & a_{23} \\ 1 - a_{11} - a_{21} & 1 - a_{12} - a_{22} & - a_{13} - a_{23} \end{matrix}| = 0$ . Här ser man dock att Rad3=-Rad1-Rad2. Då has att raderna i matrisen är linjär beroende och då att determinanten är just noll och då vi har gjort ekvivalenta påståenden så har vi visat att A har egenvärdet 1.

Eagle314 skrev:
Hej! Uppgiften verkar klurig. Jag har en lösning för en matris av storlek 3x3 men argumentet fungerar helt analogt för större matriser, blir dock jobbigare att skriva upp på datorn :( . Låt oss betrakta matrisen $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]$ med villkoren $\{\begin{array}{l} a_{11} + a_{21} + a_{31} = 1 \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} = 1 \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{31} = 1 - a_{11} - a_{21} \\ a_{32} = 1 - a_{12} - a_{22} \\ a_{33} = 1 - a_{13} - a_{23} \end{cases}$

Att A har egenvärdet 1 är ekvivalent med den karakteristiska ekvationen (eller härled från Av=v) att

$|\begin{matrix} a_{11} - 1 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - 1 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - 1 \end{matrix}| = 0$ . Genom att utnyttja villkoret ovan kan determinanten skrivas som

$|\begin{matrix} a_{11} - 1 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - 1 & a_{23} \\ 1 - a_{11} - a_{21} & 1 - a_{12} - a_{22} & - a_{13} - a_{23} \end{matrix}| = 0$ . Här ser man dock att Rad3=-Rad1-Rad2. Då has att raderna i matrisen är linjär beroende och då att determinanten är just noll och då vi har gjort ekvivalenta påståenden så har vi visat att A har egenvärdet 1.

Ah, jag förstår lösningen, hade dock aldrig sett det själv. Tack!

En mycket enkare lösning:

En matris och dess transponat har samma determinant, därför har en matris och dess transponat samma karakteristiska polynom och därför har en matris och dess transponat samma egenvärden.

Nu, om en matris har kolumnsummor 1 så har dess transponat radsummor 1 och det är enkelt att se att vektorn som består av ettor är en egenvektor, till transponatet, med egenvärde 1. Av det i första stycket sagda följer då att 1 även är ett egenvärde till den icke-transponerade matrisen.

Svara

Visa senaste svar