Egenvärden och egenvektorer
Jag undrar vad ni tycker om mitt försök till att klara uppgift a) samt tips kring hur jag ska ta mig an uppgift b).
Tusen tack för all hjälp!
Mitt försök:
a)
Vi börjar med det karaktäristiska polynomet:
λ - 41 -12 24
-12 λ-31 -36
24 -36 λ+23
(λ-41)((λ-31)(λ+23)-36^2) + 12((-12)(x+23)+36*24) + 24(12*36-(λ-31)*24) =
λ^3 - 49λ^2 - 2401λ + 117649 =
(λ-49)^2 (λ + 49)
λ = 49 (dubbel)
λ = -49
EGENVÄRDENA ÄR ALLTSÅ 1 (dubbelrot) och -1.
Vi kör nu motsvarande egenvektorer för λ = 1 samt λ = -1.
(λI - A)X = 0
För 1:
8 -12 24 0
-12 18 -36 0
24 -36 72 0
2 -3 6 0
-2 3 -12 0
2 -3 6 0
2 -3 6 0
0 0 -6 0
0 0 0 0
2x - 3y = 0
z = 0
2x = 3y
y=2/3x
x = 3/3 x
EGENVEKTOR: (3,2,0)
För -1:
-90 -12 24
-12 -80 -36
24 -36 -26
-15 -2 4
-3 -20 -9
12 -18 -13
3 20 9
12 -18 -13
15 2 -4
3 20 9
0 -98 -49
0 -98 -49
3 20 9 0
0 2 1 0
3 2 0 0
0 2 1 0
2y=-z=-3x
z = 3x
y =-3/2x
x = 1x
z = 6t
y = -3t
x = 2t
EGENVEKTOR: (2,-3,6)
3 0 -1 0
-3 0 1 0
EGENVEKTOR: (-3, 0, 1)
SVAR: EGENVÄRDEN är 1 och -1. EGENVEKTORER är (3,2,0), (2,-3,6) och (-3,0,1)
Du kan alltid kontrollera ditt svar genom att multiplicera matrisen med dina egenvektorer och se, uppfyller de definitionen på att vara egenvektorer?
för att lösa b) kan du fundera på den geometriska tolkningen. Att matrisen motsvarar en spegling i ett plan, vad betyder det för vilka vektorer som kommer vara egenvektorer? Kan du säga något om planets normal? (om du vet normalen kan du få ekvationen för planet)
Hondel skrev:Du kan alltid kontrollera ditt svar genom att multiplicera matrisen med dina egenvektorer och se, uppfyller de definitionen på att vara egenvektorer?
för att lösa b) kan du fundera på den geometriska tolkningen. Att matrisen motsvarar en spegling i ett plan, vad betyder det för vilka vektorer som kommer vara egenvektorer? Kan du säga något om planets normal? (om du vet normalen kan du få ekvationen för planet)
Jag misstänker att en av vektorerna kommer att vara normal till planet. Frågan är ju vilken. Den känns fortfarande klurig tycker jag. :)
Var hamnar normalen om du avbildar den med A?
Vad blir då egenvärdet?
(Frågorna kan besvaras "utan att räkna")
