Egenvektorer

Diagonaliseringar är inte unika eftersom egenvektorerna inte är distinkta. Om $v$ är en egenvektor så är $-v$ en egenvektor och detsamma gäller för $kv$ oavsett vilket tal (skalär) k är. 

Ofta har man som ett extra krav att basbytesmatrisen $P$ i diagoaliseringsformen

$A = PDP^{-1}$

ska vara sådan att egenvektorerna (kolumnerna) är normaliserade men om man inte tar med att egenvektorerna ska vara normaliserade så  kan kolumnerna i P väljas ganska fritt och du kan multiplicera en med -1 om du vill. Men P-matrisens kolumner kan skalas om hur man vill för kruxet är att det man göra med P tas ut av det som sker med $P^{-1}$ på ett sätt som är analogt med $(-1)(-1) = 1$

-------

Om vi tänker lite mer på vad det innebär att man skalar om egenvektorerna när man väljer basen (multiplicera/delar dem med något tal såsom -1) så kan vi se det på följande vis.

Låt P vara en matris där kolumnerna är några egenvektorer $v_i$. Låt säga att vi väljer en annan basbytesmatris $P'$ där kolumnerna är egenvektorer $k_i v_i$ där $k_i$ är skalärer, säg -1 eller 2 eller vadsomhels. Då gäller att

$P' = PK$ där $K = \text{diag}(k_1, ..., k_n)$ dvs där $K$ är en diagonal matris där omskalningsskalärerna är de diagonala elementen. (Att skriva ut ett exempel kan hjälpa att visualisera detta)

Låt oss se att det två diagonaliseringarna $P' D (P')^{-1}$ och $P D P^{-1}$ är ekvivalenta. 

$P' D (P')^{-1} = (PK) D (PK)^{-1} = (PK)D(K^{-1}P^{-1} = P(KDK^{-1})P^{-1}$

Kruxet nu är att alla matriserna i mittprodukten 

$KDK^{-1}$

är diagonala och diagonala matriser kommuterar så man kan byta plats på dem för att få K-matriserna brevid varandra så att de de tar ut varandra $KK^{-1} = I$. Så

$P' D (P')^{-1} = P(KDK^{-1})P^{-1} = PDP^{-1}$

och dessa två diagonaliseringar är alltså ekvivalenta. (Producerar båda A)