1 svar
41 visningar
abcdefg är nöjd med hjälpen
abcdefg 293
Postad: 3 jan 2020 13:34

Egenvektorer

Hej! 

A = 111313001

Egenvärdena blir λ1 = 1 , λ2 = 1+3 λ3= 1-3

Men jag är väldigt osäker över egenvektorerna. Jag har bestämt egenvektorerna till -1-11, 130, -130  men jag hade väl kunnat uttrycka dem på ett annat sätt också? T.ex sista egenvektorn som 1-30? Detta borde väl inverka på diagonaliseringen, så hur ska jag veta vad som är rätt och fel? 

SeriousCephalopod 2161
Postad: 3 jan 2020 13:54 Redigerad: 3 jan 2020 14:06

Diagonaliseringar är inte unika eftersom egenvektorerna inte är distinkta. Om vv är en egenvektor så är -v-v en egenvektor och detsamma gäller för kvkv oavsett vilket tal (skalär) k är. 

Ofta har man som ett extra krav att basbytesmatrisen PP i diagoaliseringsformen

A=PDP-1A = PDP^{-1}

ska vara sådan att egenvektorerna (kolumnerna) är normaliserade men om man inte tar med att egenvektorerna ska vara normaliserade så  kan kolumnerna i P väljas ganska fritt och du kan multiplicera en med -1 om du vill. Men P-matrisens kolumner kan skalas om hur man vill för kruxet är att det man göra med P tas ut av det som sker med P-1P^{-1} på ett sätt som är analogt med (-1)(-1)=1(-1)(-1) = 1

-------

Om vi tänker lite mer på vad det innebär att man skalar om egenvektorerna när man väljer basen (multiplicera/delar dem med något tal såsom -1) så kan vi se det på följande vis.

Låt P vara en matris där kolumnerna är några egenvektorer viv_i. Låt säga att vi väljer en annan basbytesmatris P'P' där kolumnerna är egenvektorer kivik_i v_i där kik_i är skalärer, säg -1 eller 2 eller vadsomhels. Då gäller att

P'=PKP' = PK där K=diag(k1,...,kn)K = \text{diag}(k_1, ..., k_n) dvs där KK är en diagonal matris där omskalningsskalärerna är de diagonala elementen. (Att skriva ut ett exempel kan hjälpa att visualisera detta)

Låt oss se att det två diagonaliseringarna P'D(P')-1P' D (P')^{-1} och PDP-1P D P^{-1} är ekvivalenta. 

P'D(P')-1=(PK)D(PK)-1=(PK)D(K-1P-1=P(KDK-1)P-1P' D (P')^{-1} = (PK) D (PK)^{-1} = (PK)D(K^{-1}P^{-1} = P(KDK^{-1})P^{-1}

Kruxet nu är att alla matriserna i mittprodukten 

KDK-1KDK^{-1}

är diagonala och diagonala matriser kommuterar så man kan byta plats på dem för att få K-matriserna brevid varandra så att de de tar ut varandra KK-1=IKK^{-1} = I. Så

P'D(P')-1=P(KDK-1)P-1=PDP-1P' D (P')^{-1} = P(KDK^{-1})P^{-1} = PDP^{-1}

och dessa två diagonaliseringar är alltså ekvivalenta. (Producerar båda A)

Svara Avbryt
Close