Eigenvektorer

För bekvämlighetens skull kan vi kalla:

$u=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ och $v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$.

Dessa är linjärt oberoende, och har alltså ett spann av dimension 2. Vektorerna i detta spann kan då skrivas på formen $su+tv=(s, 2s+t, t, s)$, och dessa har alla egenvärde 2.  

Vi tänker oss att vi diagonaliserar A. Diagonalmatrisen blir då $\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& ?& 0\\ 0& 0& 0& ?\end{array}\right]$.  Precis som du säger, eftersom nollrummet har dimension två måste den ha ett dubbelt egenvärde lika med noll. Då blir diagonalmatrisen till A:

$\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Allt som tillhör nollrummet är då ortogonalt mot u och v:s spann. Det blir till att hitta lösningar till ekvationssystemet:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y+w=0\\ y+z=0\end{array}\right.~\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -2& 1& \overline{)0}\\ 0& 1& 1& 0& \overline{)0}\end{array}\right]$

Vilket är $(x, y, z, w)=(2p-r, -p, p, r)$. 

Slutsats: Alla vektorer med egenvärde två är $(s, 2s+t, t, s)$. Alla egenvektorer med egenvärde noll är $(2p-r, -p, p, r)$. (Alla bokstäver är reella konstanter)

Aha! Smart! Så dem andra egenverktorer är dem som tillhör nollrummet. Snyggt löst!

(jag ska göra om det imorgon, snart börjar dagen...)