Ekvation för fältlinje kroklinjigt koordinatsystem

Ekvationen för fältlinjer är

$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ = $\lambda$$\overrightarrow{A}$.

Vidare med utnyttjande av kedjeregeln

$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=$ $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}$$\dot{r}$ + $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }$$\dot{\theta }$ + $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }$$\dot{\phi }$.

Kommer du vidare nu?

Se mera information här:

https://people.kth.se/~karim/matematik3/forelasningar/Forelasning8.pdf

$$\begin{gathered} \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dr}\lambda \left(r\cos \theta \right)+r\frac{d\overrightarrow{r}}{d\theta }\lambda \left(r\sin \theta \right)+\frac{d\overrightarrow{r}}{d\phi }\lambda \left(0\right) \iff \\ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\lambda \cos \theta +\lambda r^2\cos \theta \\ \frac{d\overrightarrow{r}}{d\phi }=0 \Rightarrow \phi \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}kons\tan t \end{gathered}$$

Nja, det där såg konstigt ut.

Tänk på att tex $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}$ = $h_r$${\overrightarrow{e}}_r$. Så du har att

$\frac{dr}{dt}$$h_r$${\overrightarrow{e}}_r$ + $\frac{d\theta }{dt}$$h_{\theta }$${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ + $\frac{d\phi }{dt}$$h_{\phi }$${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ = $\lambda$($A_r$${\overrightarrow{e}}_r$ + $A_{\theta }$${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ + $A_{\phi }$${\overrightarrow{e}}_{\phi }$), vilket ger dig tre skalära ekvationer.

Har kollat lite i dokumentet du skickade, och har försökt med detta:

$h_r\frac{dr}{dt}$ = $\lambda A_r$, $h_r$ = 1

$h_{\theta }\frac{d\theta }{dt}$ = $\lambda A_{\theta }$, $h_{\theta }$ = $r$

$h_{\phi }$$\frac{d\phi }{dt}$ = $\lambda A_{\phi }$, $h_{\phi }$ = $r\sin \theta$

Tack, hur väljer jag lämpligast lambda när jag sen ska integrera för att få ett uttryck för r?

Varför har du $\frac{1}{r\sin \theta }$ i den sista ekvationen? $h_{\phi }$ = $r\sin \theta$.

Titta på Ex. 4 i dokumentet från KTH för inspiration till hur man kan gå tillväga.

Det ska givetvis bara vara r*sin(theta), det har du rätt i