8 svar
245 visningar
abcdefg är nöjd med hjälpen
abcdefg 274
Postad: 18 aug 2019 20:46

Ekvation med komplexa tal

Hej, 

 

"Ange en lösning till ekvationen 2ez - 3 - i = 0 genom att bestämma z i formen x+iy". 

Jag testade att skriva om ekvationen till polär form och får då2(cos(0,52...)+isin(0,52...)) = 2ez

Sedan divider jag med 2 på båda led och får22(cos(0,52...)+isin(0,52...)) = ez

Sen vet jag enligt definition att ez = ex × eiy  

ex = 22  x = ln22

iy 0,52i

Detta borde då ge att z= ln22+0,52i men svaret ska bli z=πi6

Kan någon se vad jag gör för fel/missar?

Albiki 5096
Postad: 18 aug 2019 20:56

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

abcdefg 274
Postad: 19 aug 2019 08:59
Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Smaragdalena 65878 – Lärare
Postad: 19 aug 2019 09:29
abcdefg skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

abcdefg 274
Postad: 19 aug 2019 09:55 Redigerad: 19 aug 2019 10:07
Smaragdalena skrev:
abcdefg skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var 0,52 då jag tog arctan13. (såg nu att jag hade räknaren inställd på radianer så får istället 35°)

Laguna Online 19666
Postad: 19 aug 2019 10:07 Redigerad: 19 aug 2019 10:08
abcdefg skrev:
Smaragdalena skrev:
abcdefg skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var 0,52 då jag tog arctan13

π/6\pi/6 är ju ungefär 0,52, så den delen är rätt, fast du borde föredra det exakta svaret. Men nånting är fel med 2 och 2\sqrt 2 i början. Hur fick du det?

abcdefg 274
Postad: 19 aug 2019 10:21
Laguna skrev:
abcdefg skrev:
Smaragdalena skrev:
abcdefg skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas ez=12(3+i).e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i). För att finna alla komplexa tal zz som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet 12(3+i)\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)exponentialform rei(v+n·2πn)re^{i(v+n\cdot 2\pi n)} där nn betecknar ett godtyckligt heltal.

Med z=a+ibz=a+ib blir ez=eaeibe^{z} = e^{a}e^{ib} vilket ger dig två ekvationer:

     r=eaa=lnrr=e^{a}\iff a=\ln r och b=v+n·2πnb = v+n\cdot 2\pi n.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var 0,52 då jag tog arctan13

π/6\pi/6 är ju ungefär 0,52, så den delen är rätt, fast du borde föredra det exakta svaret. Men nånting är fel med 2 och 2\sqrt 2 i början. Hur fick du det?

Tack för svar! Tror jag fick ordning på det hela. Jag dividerade med 2 direkt istället för att göra det i ett senare skede. Fick då r=1 och sedan iy=π/6

Smaragdalena 65878 – Lärare
Postad: 19 aug 2019 10:47

Det finns ingen anledning att införa en massa avrundade värden, när man har de exakta!

2ez-3-i=0ez=3-i2

Skriv z som a+bi och skriv om HL på polär form:

ea+bi=ea·ebi=r·ev=1·eπ6ir=322+122=34+14=1v=tan-11232=tan-113=π6+2πn

ea=1a=0e^a=1\rightarrow a=0

Vi väljer att använda principalvärdet (d v s det utan 2πn2\pi n och får alltså att z=a+bi=π6iz=a+bi=\frac{\pi}{6}i.

Ebola 3381
Postad: 19 aug 2019 10:58
abcdefg skrev:

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var 2π kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Det kommer från att den komplexa exponentialfunktionen är periodisk med period 2π. Detta innebär att vinklarna π/6 och π/6 + 2π ger samma svar. Det är som när du löser trigonometriska ekvationer, då måste du även addera perioden.

Svara Avbryt
Close