Ekvation med logaritmer

Hej! 

Jag vill kolla så jag tänker rätt på denna:

Lös ekvationen ln(9t+72) - ln(2-t)=ln(t+6)${}^2$ och därefter ekvationen ln(9t+72) - ln(2-t)=2ln(t+6)

Jag börjar så här:

Då det endast går att logaritmera ett positivt tal måste varje parentes ovan vara större än 0. Detta ger ett ekvationssytem enligt nedan :

(1) 9t + 72 > 0 <-> t > -8

(2) 2-t > 0 <-> t < 2

(3) $(t+6{)}^2$ > 0 <-> $t^2$ + 12t + 36 > 0 <-> t$\not\equiv$-6

Eftersom det tredje villkoret inte begränsar intervallet utan enbart säger att t är skilt från -6 kommer t att ligga inom -8 < t < 2, t$\not\equiv$ -6

För dessa t fås:

ln(9t+72) - ln(2-t)=ln(t+6)^2 <->

ln(9t + 72) = ln ((t+6)^2 + (2-t)) <->

9t +72 = (t+6)^2(2-t) <->

9t + 72 = -t^3 -10t^2-12t+72 <->

t^3+10t^2 + 21t=0 <->

t(t^2+10t+21)=0 <->

t(t+3)(t+7) = 0

Nollsproduktsmetoden ger:

t = 0, -3 , -7

Alla t uppfyller alltså kraven ställda i 8 < t < 2, t $\not\equiv$-6

Vi kontrollerar för att vara säkra:

t=0 --> ln(72)-ln(2) = ln(6)^2 <->

ln(72/2) = ln 36, dvs t=0 är en lösning

t=-3 --> ln(45) - ln(5) = ln(3)^2 <->

ln(45/5) = ln9, dvs t=-3 är en lösning

t= -7 --> ln(9) - ln(9) = ln((-1)^2)) <->

ln(9/9) = ln(1) , dvs t=-7 är en lösning. 

Svar: t=0,-3,-7 är lösningar till ekvationen. 

Nu för nästa del. 

Eftersom enligt tidigare nämnd lag/regel att det inte går att logaritmera något negativt, måste 2ln(t+6) > 0. Alltså får jag -6 < t

2ln(t+6) kan skrivas som ln((t+6)^2) om t > 0 och exponenten ett heltal. Vi ser då att ekvation två är identisk med den första och vi kan därmed använda samma värden sen innan. Dock är definitionsmängden nu -6 < t < 2. 

Vi kontrollerar för att vara säkra: 

t=0 --> ln(72) - ln(2) = 2 ln(6) <->

ln(36) = 2ln(6) <->

ln(6)^2 = 2ln(6),dvs t=0 är en lösning

t=-3 --> ln(45) - ln(5) = 2ln(3) <-->

ln(9) = 2ln(3) <->

ln(3)^2 = 2ln(3), dvs t=-3 är en lösning

Vi vet att t=-7 är utanför definitionsmängden och därmed ej relevant då vi inte kommer få en giltig lösning. 

Svar: t=0,-3 är lösningar till ekvationen.