18 svar
71 visningar
Corokia cotoneaster är nöjd med hjälpen!
Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019

Ekvationen z^p=i

Hej Hej!

Jag har fastnat på en uppgift i ett gammalt nationellt prov, där jag varken vet ut eller in. 

Uppgiften lyder:

Ekvationen zp=i ska undersökas för olika värden på heltalet p .
För vissa värden på heltalet p är z1 = cos 9° + i sin 9° en lösning till
ekvationen zp = i.


a) Visa att detta gäller för p = 50 , det vill säga visa att z1 är en
lösning till z50 = i


b) Bestäm alla heltalsvärden på p för vilka z1 är en lösning
till ekvationen zp= i

 

Tacksam för svar :)

Hur har du tänkt själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit./ moderator

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Hur har du tänkt själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit./ moderator

 Jag jag har försökt! Testade även börja på den igår men jag vet inte ens vart/hur jag ska börja så jag struntade i den tills idag. Men jag vet verkligen inte vad jag jag ska börja med :(

tomast80 2346
Postad: 10 jan 2019

Börja med att läsa om potenser av komplexa tal här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019

Ska jag beräkna: (zn(cos(n*9°) + i sin (n*9°))(z(cos(9°) + i sin (9°)50)z50(cos (50 * 9°) + i sin (50 * 9°))

Smaragdalena 26363 – Moderator
Postad: 10 jan 2019 Redigerad: 10 jan 2019

Nej, du har att z=1(cos9°+isin9°)z=1(\cos9^{\circ}+i\sin9^{\circ})z50=(1(cos9°+isin9°))50=150(cos50·9°+isin50·9°)=1(cos450°+isin450°) enligt de Moivres formel. Var i det komplexa talplanet hamnar argumentet 450°450^{\circ}?

EDIT: fixade formeln

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Nej, du har att z=1(cos9°+isin9°)z=1(\cos9^{\circ}+i\sin9^{\circ}) så $$z^{50}=(1(\cos9^{\circ}+i\sin9{^\circ})^{50}=1^{50}(\cos50\cdot9^{\circ}+i\sin50\cdot9^{\circ})=...$$ enligt de Moivres formel. Var i det komplexa talplanet hamnar argumentet 450°450^{\circ}?

 Nu blev det konstiga tecken :(

Man kommer inte åt formelskrivaren från mobilen, och jag hittar inte var jag har skrivit fel i koden. Skriver ett förhoppningsvis käslugt inlägg när jag kommer åt min dator. Kortversion: läs om de Moivres formel och använd den.

Nu har jag fixat det. Hänger du med på hur det fungerar?

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019 Redigerad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Nu har jag fixat det. Hänger du med på hur det fungerar?

 Ja det var sådär jag menade bara de att jag inte hade kommit så långt att sätta en 1 ist för z :) Jag ville bara ha bekräftat att jag skulle använda formeln. Uttryckte mig konstigt!

Smaragdalena 26363 – Moderator
Postad: 10 jan 2019 Redigerad: 10 jan 2019

Du skall inte sätta en etta i stället för zz, z=cos9°+i sin9°=1(cos9°+i sin9°), så beloppet är 11 och argumentet är 9o9^o.

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Du skall inte sätta en etta i stället för zz, z=cos9°+i sin9°=1(cos9°+i sin9°), så beloppet är 11 och argumentet är 9o9^o.

 Ja precis fel av mig!

Laguna 4989
Postad: 10 jan 2019

Enhetscirkeln, eller vad den heter i det komplexa talplanet, är en bra visuell hjälp.

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019

z = 1(cos 9° + i sin 9°)z50= 150(cos 50 * 9° + i sin 50 * 9°)1(cos 450° + i sin 450°)450° - 360° = 90° = π2

Och vad är det för komplext tal som har absolutbeloppet 11 och argumentet π2=90o\frac{\pi}{2}=90^o?

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Och vad är det för komplext tal som har absolutbeloppet 11 och argumentet π2=90o\frac{\pi}{2}=90^o?

 Tänkte du att jag ska skriva om det till rektangulär form?

Moffen 482
Postad: 10 jan 2019

Det blir mer eller mindre bara att beräkna 1(cos(π2)+isin(π2)). Vad blir det då?

Corokia cotoneaster 790
Postad: 10 jan 2019

i.

Alltså är z50= i

Corokia cotoneaster skrev:

i.

Alltså är z50= i

 Ja då är du klar med a-uppgiften.

Svara Avbryt
Close