Ekvations lösning: Komplexa tal (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Borde jag förenkla med dess konjugat ?

$(1 + i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3}) = 1 - 3 i^{2} = 1 + 3 = 4$

Och sen stoppa in det i ursprungs ekvationen ?

Vad menar du med "förenkla". Vad är det som förenklas?

Faktorsatsen säger att ekvationen kan skrivas i produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ , där $x_1 = 1+i\,\sqrt{3}$ är en av rötterna och $x_2$ är den andra av rötterna.

Den andra lösningen kan bestämmas m.h.a. satsen om komplexkonjugerade rötter eftersom koefficienterna i ekvationen skall vara reella. Vad är den andra roten då?

Jag började så här

Du gör fel när du kvadrerar

(x+y)² = x²+y²+2xy

Du har glömt bort den sista termen i bägge kvadreringarna

(1+i $\sqrt{3}$ )² +a(1+i $\sqrt{3}$ )+b = 0 förenkla:

1-3 +2i $\sqrt{3}$ +a +ia $\sqrt{3}$ +b = 0 förenkla en gång till

a+b-2 +i $\sqrt{3}$ (2+a) = 0

Eftersom det ska bli noll måste både realdel och imaginärdel vara noll i VL

vilket ger oss dessa två ekvationer

a+b-2 = 0

$\sqrt{3}$ (2+a) = 0

som återstår att lösa

Alternativt kan du lösa uppgiften som föreslogs i #4

Jag förstod inte riktigt hur jag skulle tänka i #4

Arup skrev:
Jag förstod inte riktigt hur jag skulle tänka i #4

Det kan vi ta i morgon.

Förstår du lösningen i #6?

i #4 utnyttjar man att att (x−x₁ )(x−x₂ ) = x² +ax +b

om x₁ och x₂ är nollställen till högerledet (dvs lösningar till ekvationen x² +ax +b =0 )

multiplicera ihop vänsterledet och se om du får ngt som du kan jobba vidare med, du vet vad x₁ och x₂ är.

Ska man ställa upp det så här

$(x + 1 + i \sqrt{3}) (x - 1 - i \sqrt{3}) = x^{2} + a x + b ?$

Du har gjort ett teckenfel inne i parenteserna

Nollställena är 1+i $\sqrt{3}$ och 1-i $\sqrt{3}$

Alltså får du

$(x - (1 + i \sqrt{3})) (x - (1 - i \sqrt{3})) = x^{2} + a x + b$

som du kan utveckla vidare

Så här långt kom jag

Det blir fel när du multiplicerar ihop de två parenteserna.

Du ska multiplicera varje term I första parentesen med varje term I den andra parentesen enligt mallen

(a+b+c)(d+e+f) = ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf

I det här fallet blir det alltså

$x^2-x+i\sqrt{3}x-x+1-i\sqrt{3}-i\sqrt{3}x+i\sqrt{3}-i^2(\sqrt{3})^2$

Jag kan visa en enklare metod när du kommit igenom denna.

Yngve skrev:
Det blir fel när du multiplicerar ihop de två parenteserna.

Du ska multiplicera varje term I första parentesen med varje term I den andra parentesen enligt mallen

(a+b+c)(d+e+f) = ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf

I det här fallet blir det alltså

$x^2-x+i\sqrt{3}x-x+1-i\sqrt{3}-i\sqrt{3}x+i\sqrt{3}-i^2(\sqrt{3})^2$

Jag kan visa en enklare metod när du kommit igenom denna.

Jag trodde man skulle använda konnjugat-regeln.

Ja, det kan du göra.

Den ger att

$((x-1)-i\sqrt{3})((x-1)+i\sqrt{3})=$

$=(x-1)^2-(i\sqrt{3})^2$

Om du sedan utvecklar första kvadraten så blir det $(x^2-2x+1)-(i\sqrt{3})^2$

Efter kvadrering av sista termen får du $(x^2-2x+1)+1\cdot3$ , vilket förenklat blir $x^2-2x+4$

=======

Det du då missade var vid kvadrering av (x-1).

Det gäller alltså inte att $(x-1)^2=x^2-1$ utan istället $x^2-2\cdot1+1^2$ .

Kika efter kvadreringsreglerna i ditt formelblad.

Tillägg: 8 mar 2026 00:02

Jag skrev fel, det ska stå att $(x-1)^2$ ska bli $x^2-2\cdot x\cdotx+1^2$

Kan man ställa upp uttrycket så här ?

${(x - 1)}^{2} + (i + \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$

Arup skrev:
Kan man ställa upp uttrycket så här ?

${(x - 1)}^{2} + (i + \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$

Pröva!

Multiplicera ihop de sista två parenteserna.

Blir de lika med 3?

$x^{2} - 2 x + 1 + i^{2} - 3 = x^{2} + a x + b - 2 x + 1 - 1 - 3 = a x + b - 2 x - 3 = a x + b a = - 2 b = - 3$

OK har du kontrollerat ditt svar?

Om inte, vet du hur du kan göra det?

Yngve skrev:
OK har du kontrollerat ditt svar?

Om inte, vet du hur du kan göra det?

Stoppa in värdet och se om likheten gäller.

Ja, men vilken likhet?

Det jag tänkte på var att du kan stoppa in dina förslag på a och b i ekvationen $x^2+ax+b = 0$ och se om den då får lösningarna $x_1=1+i\sqrt{3}$ och $x_2=1-i\sqrt{3}$

Gör det och berätta vad du kommer fram till.

Jag verkar ha fått motstridande svar

Arup skrev:
Kan man ställa upp uttrycket så här ?

${(x - 1)}^{2} + (i + \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$

Jag tror anledningen varför jag fick det är för att det ska stå ett minus tecken. Så här

${(x - 1)}^{2} - (1 + i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$

OK vad får du då a och b till?

Och har du kontrollerat ditt nya svar?

Om vi börjar om från början så kan jag visa hur jag skulle ha löst uppgiften.

Vi vill bestämma de reella konstanterna a och b så att en av lösningarna till ekvationen $x^2+ax+b=0$ är $x=1+i\sqrt{3}$ .

Pq-formeln ger oss att ekvationens lösningar är

$x=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{(\frac{a}{2})^2-b}$

En av dessa lösningar ska vara lika med den givna roten, vilket ger oss

$1+i\sqrt{3}=-\frac{a}{2}+\sqrt{(\frac{a}{2})^2-b}$

Detta är en ekvation som innehåller komplexa tal. För att två komplexa tal ska vara lika varandra så måste dels realdelarna vara lika dels imaginärdelarna vara lika.

Det ger oss

$1=-\frac{a}{2}$

$i\sqrt{3}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-b}$

Den första ekvationen ger oss att $a=-2$

Detta insatt i den andra ekvationen ger oss

$i\sqrt{3}=\sqrt{(\frac{-2}{2})^2-b}$

$i\sqrt{3}=\sqrt{1-b}$

Eftersom $i\sqrt{3}=\sqrt{-3}$ så får vi att $1-b=-3$

$b=4$

= Och sedan den jätteviktiga kontrollen! =

Om a = -2 och b = 4 så lyder ursprungsekvationen $x^2-2x+4$

Pq-formeln ger oss då

$x=-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{(\frac{-2}{2})^2-4}$

$x=1\pm\sqrt{1-4}$

$x=1\pm i\sqrt{3}$

Det stämmer!

Varför tänkte inte jag på det ?

Jag undrar hade fakorisering ävem gällt för andra tal än 0.

Om vi tänker oss att det istället hade stått:

X^2+bc+c=5, då x=1+isqrt(3) ?

Tillägg: 10 mar 2026 15:29

Jag menar det som förslogs inlägg #4

Arup skrev:
Jag undrar hade fakorisering ävem gällt för andra tal än 0.

Om vi tänker oss att det istället hade stått:

X^2+bc+c=5, då x=1+isqrt(3) ?

Tillägg: 10 mar 2026 15:29

Jag menar det som förslogs inlägg #4

Ja det funkar.

Du kan ju skriva om ekvationen till $x^2+bx+(c-5)=0$

Grejen med faktorisering är att den utnyttjar nollproduktmetoden:

Om a*b*c*d = 0 så måste åtminstone en av faktorerna a, b, c och d vara lika med 0.

Och omvänt, om åtminstone en av dessa faktorer är lika med 0 så måste även produkten vara lika med 0.

I fallet (x-x₁)(x-x₂) = 0 så betyder det att åtminstone ett av uttrycken (x-x₁) och (x-x₂) är lika med 0, vilket är fallet då x₁ och x₂ är nollställen.

Arup skrev:
Varför tänkte inte jag på det ?

Du får se det positiva i att nästa gång kommer du troligtvis att göra det 😀

Jag undrar hur kommer du fram till att

$\{\begin{cases} - \frac{a}{2} = 1 \\ \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}} - b = i \sqrt{3 ?} \end{cases}$

Tillägg: 11 mar 2026 12:06

Jag vet att $- \frac{a}{2}$ är symmetri-linjen

och $\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}} - b$ är diskriminanten

Arup skrev:
Jag undrar hur kommer du fram till att

$\{\begin{cases} - \frac{a}{2} = 1 \\ \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}} - b = i \sqrt{3 ?} \end{cases}$

Eftersom vänsterledet är ett komplext tal $1+i\sqrt{3}$ som har nollskild real- och imaginärdel så måste även högerledet vara ett komplext tal med nollskild real- och imaginärdel.

För att högerledets imaginärdel ska vara nollskild så måste termen $\sqrt{(\frac{a}{2})^2-b}$ vara ett rent imaginärt tal, vilket betyder att diskriminanten $(\frac{a}{2})^2-b$ måste vara mindre än 0.