Ekvationssystem

Hej

kan någon hjälpa mig med att hitta de sista värdena på y och z till följande ekvationssystem:

$(\begin{matrix} (x - y + z) \times (x + y - z) = 8 \\ (y - z + x) \times (y + z - x) = 12 \\ (z - x + y) \times (z + x - y) = 24 \end{matrix})$

Jag har gjort om det till:

$(\begin{matrix} a = x - y + z \\ b = x + y - z \\ c = y + z - x \end{matrix})$

och har fått fram att x=3 y=4 och z=5, jag tror att x även är -3 men jag får inte fram de övriga svaren till y och z

Om man har att

$(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$

Så kan ekvationssystemet skrivas som

$a b = 8, b c = 12, c a = 24$

Detta ekvationssystem kan du nog lösa själv, lösningarna är $a = \pm 4, b = \pm 2, c = \pm 6$ . Nu har vi att

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$

Så sätter vi in lösningarna vi har så får man de två lösningarna genom att

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})$

och

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{matrix})$

Svara