5 svar
100 visningar
K.Ivanovitj 174
Postad: 9 aug 2017 Redigerad: 9 aug 2017

Ekvationssystem

Hej

kan någon hjälpa mig med att finna alla lösningar a,b,c till följande ekvationssystem:

2a-b=29+4ab2c-b=11+4bc2c+a=9-4ac

 

Jag började med att ledvis addera ihop termerna VL och HL för sig och fick då 4a-b+c=49+4ab+bc-ac men sedan är jag lite fast i hur man ska ta sig vidare.

Ska man subtrahera den första raden i ekvationssystemet för att få ut ett värde på c? jag försökte göra det men blir osäker då vi har 4a-4b så ska man då subtrahera med två gånger första raden i ekvationssystemet?

I så fall får jag att 4c=-9+4-ab+bc-ac

ekv1:  2a - 2b = 29 + 4ab
           2a - 4ab = 29 + 2b
           a ( 2 - 4b ) = 29 + 2b
           a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )

ekv2:  2c - 2b = 11 + 4bc
           - 2b - 4bc = 11 - 2c
           b ( - 2 - 4c ) = 11 - 2c
           b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )

ekv3:  2c + 2a = 9 - 4ac
           2c + 4ac = 9 - 2a
           c ( 2 + 4a ) = 9 - 2a
           c = ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Sätter in värdet av b i ekv1:
            a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]  /  [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]

Efter en massa steg som jag inte orkar skriva här kommer jag till:
            a = 0,75 + 2,5c

Sätter in värdet av  c  från ovan:
            a = 0,75 + 2,5 ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Detta ger en andragradsekvation, som ger  a = 2  och  a = -3

Insättning av dessa två värden på  a  i  ekv3  ger två värden på  c

Insättning av dessa två värden på  c  i  ekv2  ger två värden på  b

Klart

Albiki 1126
Postad: 9 aug 2017

Hej!

Använd sambandet

    4xy=(x+y)2-(x-y)2 \displaystyle 4xy = (x+y)^2-(x-y)^2

för att skriva de tre ekvationerna på följande form.

    (a-b)2+2(a-b)=29+(a+b)2 (a-b)^2 + 2(a-b) = 29 + (a+b)^2

    (c-b)2+2(c-b)=11+(c+b)2 (c-b)^2 + 2(c-b) = 11 + (c+b)^2

    (c+a)2+2(c+a)=9+(c-a)2 (c+a)^2 + 2(c+a) = 9 + (c-a)^2

Kvadratkompletteringar ger följande resultat.

    (a-b+1)2=30+(a+b)2 (a-b+1)^2 = 30 + (a+b)^2

    (c-b+1)2=12+(c+b)2 (c-b+1)^2 = 12 + (c+b)^2

    (c+a+1)2=10+(c-a)2 (c+a+1)^2 = 10 + (c-a)^2

Konjugatregeln låter dig skriva ekvationerna på faktoriserad form.

    30=(a-b+1+a+b)(a-b+1-a-b)=(1+2a)(1-2b) 30 = (a-b+1+a+b)(a-b+1-a-b) = (1+2a)(1-2b)

    12=(c-b+1+c+b)(c-b+1-c-b)=(1+2c)(1-2b) 12 = (c-b+1+c+b)(c-b+1-c-b) = (1+2c)(1-2b)

    10=(c+a+1+c-a)(c+a+1-c+a)=(1+2c)(1+2a) 10 = (c+a+1+c-a)(c+a+1-c+a) = (1+2c)(1+2a)

Dividera (1) med (2) för att få ekvationen 

    5(1+2c)=2(1+2a). 5(1+2c) = 2(1+2a).

Dividera (2) med (3) för att få ekvationen 

    6(1+2a)=5(1-2b) 6(1+2a) = 5(1-2b) .

Dividera (1) med (3) för att få ekvationen

    3(1+2c)=(1-2b). 3(1+2c) = (1-2b).

Skriv A=2(1+2a) A = 2(1+2a) och B=1-2b B = 1-2b och C=1+2c. C = 1+2c. Då har du att lösa ekvationerna

    5C=A 5C = A  

    3A=5B 3A = 5B

    3C=B. 3C = B.

Albiki

larsolof 351 – Mattecentrum-volontär
Postad: 10 aug 2017 Redigerad: 10 aug 2017

Hur kan du Albiki lösa ekvationerna ?
5C=A
3A=5B
3C=B

Som jag ser det blir resultatet
C=C    eller   5B/3=5B/3    eller    3A/5=3A/5

Visserligen sant, men ger ingen lösning...

K.Ivanovitj 174
Postad: 10 aug 2017
larsolof skrev :

ekv1:  2a - 2b = 29 + 4ab
           2a - 4ab = 29 + 2b
           a ( 2 - 4b ) = 29 + 2b
           a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )

ekv2:  2c - 2b = 11 + 4bc
           - 2b - 4bc = 11 - 2c
           b ( - 2 - 4c ) = 11 - 2c
           b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )

ekv3:  2c + 2a = 9 - 4ac
           2c + 4ac = 9 - 2a
           c ( 2 + 4a ) = 9 - 2a
           c = ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Sätter in värdet av b i ekv1:
            a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]  /  [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]

Efter en massa steg som jag inte orkar skriva här kommer jag till:
            a = 0,75 + 2,5c

Sätter in värdet av  c  från ovan:
            a = 0,75 + 2,5 ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Detta ger en andragradsekvation, som ger  a = 2  och  a = -3

Insättning av dessa två värden på  a  i  ekv3  ger två värden på  c

Insättning av dessa två värden på  c  i  ekv2  ger två värden på  b

Klart

jag är inte riktigt med på hur du får fram a=0,75+2,5c

jag får kvar 29/4(-5+c)

 

a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )

b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )

a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]

multiplicerar in och 4

a = [ 29 + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 -  ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

förlänger 29 och 2 med ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) för att få gemensam nämnare

a = [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ]  /  [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

börjar bli svårt att se nu, så förtydligar så här....

a = täljare / nämnare

täljare =  [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

alla termerna (heter de så? ) i både täljaren och nämnaren
har ( -2 - 4c ) i sina respektive nämnare, så förkorta bort dessa....

täljare = [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

....så blir det

täljare = [ 29( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c )  ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) ]

multiplicera in 29 och 2

täljare = [ 29( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c )  ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) ]

får....

täljare = [ ( -58 - 116c ) + ( 22 - 4c )  ]

nämnare = [ ( -4 - 8c ) - ( 44 - 8c ) ]

tar bort parenteser....  (obs ett minustecken)

täljare = [ ( -58 - 116c ) + ( 22 - 4c )  ]

nämnare = [ ( -4 - 8c ) - ( 44 - 8c ) ]

får....

täljare =  -58 - 116c  +  22 - 4c

nämnare =  -4 - 8c 44 + 8c

får....

täljare =  -36 - 120c

nämnare =  -48

nu har det blivit lite enklare, så sätter ihop igen....

a =  -36 - 120c  /  -48

förkortar med  - 12

a = 3 + 10c / 4

a = 3/4 + 10c/4

så är vi framme, men det var drygt...

a = 0,75 + 2,5c

Svara Avbryt
Close