Ekvationssystem

Att en ekvation är beroende, betyder att den kan konstrueras med hjälp av en eller flera andra ekvationer i ekvationssystemet. Det enklaste exemplet är om en ekvation där det bara skiljer en koefficient mellan ekvationerna. Exempelvis $x+y=4$ och $2x+2y=8$. I ett ekvationssystem med de två ekvationerna, är det bara en ekvation som faktiskt ger någon information. Den andra är bara en dubblett, som vi kan strunta i utan att lösningsmängden förändras. 

Beroende ekvationer kan vara klart mer komplicerade - de kan vara summor av flera andra ekvationer i ett ekvationssystem - men det alla beroende ekvationer har gemensamt är att de inte bidrar med ny information. De är ekvationernas svar på härmapor. :)

Okej, tror jag förstår lite 🙂 tack 

Vad bra! Jag ser nu att du frågade om överbestämdhet också. Ett överbestämt system är ett ekvationssystem med fler ekvationer än obekanta (i 1.10 har vi fyra ekvationer, men bara tre obekanta). 

I ett överbestämt system finns det två möjligheter:

• Systemet saknar lösningar
• Systemet har (minst) en ekvation som är beroende, och därför inte behöver räknas med. 

Ett exempel på ett överbestämt ekvationssystem som saknar lösningar är $y=4$ och $y=7$. Här har vi två räta linjer, med samma lutning men olika skärning på y-axeln. De kommer aldrig att skära varandra, vilket innebär att det saknas lösningar på ekvationssystemet. 

Ett exempel på ett ekvationssystem som har en beroende ekvation är $x=4$ och $3x=12$. I detta lilla men överbestämda ekvationssystem har vi en obekant, men två ekvationer. Det finns ändå en lösning ($x=4$), eftersom att den ena ekvationen är beroende av den andra. Vi har alltså en ekvation som ger oss ny information om x, och en ekvation som bara härmar den andra ekvationen. 

Tillägg: 20 okt 2025 22:48

Man kan såklart fråga sig vilken ekvation som är beroende av den/de andra, men det är mer en filosofisk fråga. Ta ett ekvationssystem med ekvationerna:

• x+y=8
• z+w=5
• x+y+z+w=13

Vilken ekvation är beroende av de andra? Det är lätt att säga att det är den tredje, och det skulle jag också säga, men vi kan även konstruera ekvation 1 genom att räkna ekvation 3 - ekvation 2 (ledvis). 

Det vi kan säga säkert är att en av ekvationerna är överflödiga. Vilken det är, tja, det lämnas som en övning till läsaren. 😉

Ett liknande exempel, från naturen: Höger hand och vänster hand är spegelbilder av varandra, men vilken hand är originalet, och vilken hand är spegelbilden? 

Det är inte helt enkelt att 'se' det men om vi numrerar ekv. e0, e1, e2, e3 så har vi att

e0 = (58e1+e2-68e3)/41

Räknade med all bråktal och fick till det.. sedan löste jag det igen med att byta plats på några ekvationer vilket gjorde det mycket lättare av någon anledning.

Sen om någon är överflödig eller inte.. vet inte om det spelar någon roll egentligen, sett till lösningen i alla fall. Jag tycker för övrigt att alla verkar helt nödvändiga i exemplet där :3

Men jag är nöjd att jag på något sätt klarade uppgiften bara.

Tack.

Dkcre skrev:

Räknade med all bråktal och fick till det.. sedan löste jag det igen med att byta plats på några ekvationer vilket gjorde det mycket lättare av någon anledning.

Sen om någon är överflödig eller inte.. vet inte om det spelar någon roll egentligen, sett till lösningen i alla fall. Jag tycker för övrigt att alla verkar helt nödvändiga i exemplet där :3

Men jag är nöjd att jag på något sätt klarade uppgiften bara.

Tack.

Bra!

Jag tog -(3)+(4) vars resultat mult. med -2 adderas till (2) då får man

2x+4y-2z=2

14x-10z=38

-20z=20

och sedan var resten lätt.