12 svar

281 visningar

CarlHolm är nöjd med hjälpen

Ekvationssystem, lös för varje reellt tal a och b

Hej,

jag försöker kämpa mig igenom följande uppgift:

Lös för varje reellt tal a och b ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} x + 2 y - z = 3 2 x + 2 y - z = 4 \\ 2 x + 5 y - a z = b \end{cases}$

Jag har påbörjat uträkningen genom att dela upp ekvationssystemet i matriserna A, X och B

$(\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 2 & - 1 \\ 2 & 5 & - a \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ b \end{matrix}) A X B$

Vilket ger ekvationen $A X = B$ , med lösningen $X = A^{- 1} B$ , om A är inverterbar. Efter att ha beräknat inversen av A genom användandet av enhetsmatrisen får jag att $A^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ \frac{2 (a - 1)}{2 a - 5} & \frac{a - 2}{2 a - 5} & \frac{1}{5 - 2 a} \\ \frac{6}{2 a - 5} & \frac{1}{2 a - 5} & \frac{2}{5 - 2 a} \end{matrix})$

Om jag nu löser ekvationen $X = A^{- 1} B$ så får jag lösningen $X = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{4 (a - 2)}{2 a - 5} + \frac{b}{5 - 2 a} + \frac{6 (a - 1)}{2 a - 5} \\ \frac{2 b}{5 - 2 a} + \frac{22}{2 a - 5} \end{matrix})$ , men det känns inte som att den kommer leda någonvart för att besvara det uppgiften frågar efter, nämligen lös för varje reellt tal a och b. Har någon ett förslag på hur jag kan gå tillväga?

Mycket tacksam för svar.

De första två ekvationerna ger direkt att

x = 1

z = 2y - 2

Kommer du vidare då?

Ditt svar är nog rätt. Eftersom alla nämnarna är 2a-5 kan du skriva det på ett bråkstreck så blir det snyggare..

Kan du gauseliminera bort något i början för att få ut vad x och y är och sedan stoppa in det i den tredje ekvationen för att få ut a och b?

Det är inte a och b man vill ha fram ur den tredje ekvationen - man vill ha fram uttryck för x, y och z som gäller för alla värden på a och b. Använd tipset från Yngve, sätt in de uttrycken för x och z i den tredje ekvationen och lös ut y. Sedan är man nästan framme.

Ditt sätt med att räkna ut inversen är också rätt men det blir mycket räkningar och lätt att göra fel. Det har du råkat göra så inversen stämmer inte.

EDIT - Henrik var före som vanligt.

Din $A^{- 1}$ är inte korrekt.

Kan du visa steg för steg hur du gjorde?

Svaret ska bli

$x = 1$

$y = \frac{b - 2 (1 + a)}{5 - 2 a}$

$z = \frac{2 (b - 7)}{5 - 2 a}$

Ekvationssystemet saknar alltså lösning då $a = \frac{5}{2}$

Tack för svaren.

Tydligen har jag använt mig av fel tecken på a, då den ska vara positiv istället för negativ...

Alltså, uppgiften säger följande:

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x + 2 y - z = 3 \\ 2 x + 2 y - z = 4 \end{array} \\ 2 x + 5 y + a z = b \end{cases}$

Jag gjorde i alla fall en ny beräkning och fick fram en ny invers, denna gång med Gauss-elimination:

$A^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ \frac{2 (a + 1)}{2 a + 5} & - \frac{a + 2}{2 a + 5} & \frac{1}{2 a + 5} \\ - \frac{6}{2 a + 5} & \frac{1}{2 a + 5} & \frac{2}{2 a + 5} \end{matrix})$

Nu får jag

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{4 (- a - 2) + b + 6 (a + 1)}{2 a + 5} \\ \frac{2 b - 14}{2 a + 5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2 a + b - 2}{2 a + 5} \\ \frac{2 (b - 7)}{2 a + 5} \end{matrix})$

Vilket ger lösningen:

$x = 1 y = \frac{2 a + b - 2}{2 a + 5} z = \frac{2 (b - 7)}{2 a + 5}$

och ekvationssystemet saknar lösning då $a = - \frac{5}{2}$

Jag tror att jag har löst uppgiften nu och använt rätt invers. Tack igen för de oerhört hjälpsamma svaren allesammans!

Hej!

Jag försöker lösa en liknande uppgift och undrar om man verkligen får dividera med t.ex. 2a+5, eftersom värdet av a är okänt? Till exempel kan a=-5/2 och då har man ju dividerat med noll under gauss-eliminationen?

-sun61

sun61 skrev :
Hej!
Jag försöker lösa en liknande uppgift och undrar om man verkligen får dividera med t.ex. 2a+5, eftersom värdet av a är okänt? Till exempel kan a=-5/2 och då har man ju dividerat med noll under gauss-eliminationen?

-sun61

Du får dividera men du måste undersöka om nämnaren kan vara noll och i så fall hantera det fallet separat. I detta fall innebär det att ekvationssystemet saknar lösning då nämnaren är noll.

Mindre intressant för just din fråga är att CarlHolm fick nämnaren till 2a+5 men jag fick den till 5-2a.

Yngve skrev :
sun61 skrev :
Hej!
Jag försöker lösa en liknande uppgift och undrar om man verkligen får dividera med t.ex. 2a+5, eftersom värdet av a är okänt? Till exempel kan a=-5/2 och då har man ju dividerat med noll under gauss-eliminationen?

-sun61
Du får dividera men du måste undersöka om nämnaren kan vara noll och i så fall hantera det fallet separat. I detta fall innebär det att ekvationssystemet saknar lösning då nämnaren är noll.
Mindre intressant för just din fråga är att CarlHolm fick nämnaren till 2a+5 men jag fick den till 5-2a.

Jag nämnde i mitt senaste inlägg att jag läste fel på uppgiften, då a skall vara positivt. Därav 2a+5 som nämnare.

CarlHolm skrev :
Jag nämnde i mitt senaste inlägg att jag läste fel på uppgiften, då a skall vara positivt. Därav 2a+5 som nämnare.

Aha, jag trodde du menade att a skulle vara positiv och förstod inte att du egentligen menade att az-termen i tredje ekvationen skulle adderas istället för subtraheras från vänsterledet.

Hej!

Om talet $a$ är sådant att determinanten $\det(A)$ är inte lika med talet noll, så har systemet en enda lösning, $X = A^{-1}B.$

Om determinanten $\det(A)$ är lika med noll så är kolonnerna hos matrisen $A$ linjärt beroende, vilket betyder att två (eller en) av kolonnerna spänner upp värderummet till matrisen $A.$ Då ska talet $b$ i vektorn $B$ vara sådant att $B$ ligger i värderummet,

$\displaystyle B = x(b)a_1 + y(b)a_2,$

där jag antar att det är kolonnerna $a_1$ och $a_2$ som är linjärt oberoende, och $x(b)$ och $y(b)$ är två tal (som bestäms av talet $b$ ) som gör att linjärkombinationen $x(b)a_1 + y(b)a_2$ är exakt lika med vektorn $B$ (som ju bestäms av talet $b$ ).

Albiki

Svara Avbryt

Visa senaste svar