Ekvationssystem i uppgift med att optimera 3-variabelsfunktion med bivillkor.

Hej!

Uppgiften är att bestämma största och minsta värde av $f(x,y,z)=x+y+z$

under bivillkoren

 $$\begin{gathered} x^2+y^2+z^2=\frac{83}{7} \\ x+2y+3z=4 \end{gathered}$$

Första ekvationen är en sfär och andra ett plan. Och bivillkoren beskriver tillsammans skärningen mellan dem som är kompakt. Största och minsta värde antas alltså för $f$där och i punkter där detta inträffar är

gradienterna till alla funktioner linjärt oberoende. Detta beskrivs med ekvationen $x-2y+z=0$.

Kombineras detta med bivillkoren fås:

$$\begin{gathered} x-2y+z=0 \\ x+2y+3z=4 \\ {x}^2+y^2+z^2=\frac{83}{7} \end{gathered}$$

Jag undrar hur man kommit vidare i detta ekvationssystem till :

$$\begin{gathered} x=-2+4t \\ y=t \\ z=2-2t \\ {(-2+4t)}^2+t^2+{(2-2t)}^2=\frac{83}{7} \end{gathered}$$

och sedan kunnat avgöra att $t=\frac{9}{7} eller t=-\frac{1}{7}$?

Jag gissar att man löst ut z genom att ta den andra ekvationen minus den första och fått z=2-2y och sen satt y=t stämmer det?

Hur får man ut värdena på t från den sista ekvationen?

tacksam för hjälp :)