Elasticity of substitution

Hej!

Det här är en formel från mikroekonomin som jag ej riktigt förstår. Det är dock ett rent matematiskt "problem", så lägger den här under kategorin matematik.

Vi har funktionen: $f(x,y)={(ax\beta +by\beta )}^{1/\beta }$

Vi ska visa att om vi tar funktionen insatt i följande formel: ${\sigma }_{ij}=-\frac{\partial \log (x/y)}{\partial \log \left(\right(\partial f(x,y)/\partial x)/(\partial f(x,y)/\partial y\left)\right)}$

så ger det: $\frac{1}{1-\beta }$

Tycker det är väldigt svårt att tyda formeln. Jag förstår det som att vi ska derivera, men m.a.p vadå? Vad betyder det när dom skriver "$\partial \log (x/y)$". Vad jag kan se så är det Leibniz beteckning för derivata vi har där och tolkar det därför som att det är en (partiell?) derivering som ska göras.

Jag har gjort såhär hittills:

För uträkning av nämnare får jag: $\frac{f(x,y)}{\partial x}={(a{x}^{\beta }+b{y}^{\beta })}^{\left(\frac{1-\beta }{\beta }\right)}*a{x}^{\beta -1}$  och  $\frac{f(x,y)}{\partial y}={(a{x}^{\beta }+b{y}^{\beta })}^{\left(\frac{1-\beta }{\beta }\right)}*b{y}^{\beta -1}$

Tror jag räknat rätt där. Har jag det så blir nämnaren(utan derivata och log) följande:$(\partial f(x,y)/\partial x)/(\partial f(x,y)/\partial y)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{a{x}^{\beta -1}}{b{y}^{\beta -1}}=\frac{a}{b}{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\beta -1}$

So far so good tror jag. Nu kommer det knöliga, här har jag förstått det som att man ska göra följande omskrivning för att komma åt delen i täljaren(åter utan derivata eller log): $\frac{\partial f(x,y)/\partial x}{\partial f(x,y)/\partial y}=\frac{a}{b}{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\beta -1} <=>\frac{x}{y}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{1}{\beta -1}}{\left(\frac{\partial f(x,y)/\partial x}{\partial f(x,y)/\partial y}\right)}^{\frac{1}{\beta -1}}$

Där jag i sin tur då kan använda logaritmer, för att få nämnaren (utan derivata): $\log \frac{x}{y}=\log {\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{1}{\beta -1}}{\left(\frac{\partial f(x,y)/\partial x}{\partial f(x,y)/\partial y}\right)}^{\frac{1}{\beta -1}}<=>\log \frac{x}{y}=\frac{1}{\beta -1}\log \left(\frac{\partial f(x,y)/\partial x}{\partial f(x,y)/\partial y}\right)+\frac{1}{\beta -1}\log \left(\frac{b}{a}\right)$

Så, nu har jag, om jag har gjort rätt, båda delen i täljaren som jag ska derivera och delen i nämnare som jag ska derivera. Jag får det till följande:

${\sigma }_{ij}=-\frac{\partial \log (x/y)}{\partial \log \left(\right(\partial f(x,y)/\partial x)/(\partial f(x,y)/\partial y\left)\right)} <=>-\frac{\partial \left(\frac{1}{\beta -1}\log \left(\frac{\partial f(x,y)/\partial x}{\partial f(x,y)/\partial y}\right)+\frac{1}{\beta -1}\log \left(\frac{b}{a}\right)\right)}{\partial \log \left(\frac{a}{b}{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\beta -1}\right)}$

Och här tar det stopp. Vad menar dom med derivata här? Hur ska jag veta vad jag ska derivera m.a.p? Det står ju inte? Eller är det underförstått?

Vore otroligt tacksam för hjälp med denna uppgift då den har genererat fruktansvärt mycket frustration :)

(Sorry för den utdragna skrivelsen av partiella derivatan men lyckades verkligen inte få till den kortare beteckningen med x som index och ' som prim)

Vänligen, Fridein