Elektrostatik: E-fält inuti laddat klot

Använd den sfäriska symmetrin.

Använd också att fältet inuti en sfärisk fördelning är noll. 

Använd Pieters tips eller Gauss lag.

$div\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$ (Maxwell).

Integerera Maxwell över volym

$\underset{V}{\iiint }div\overrightarrow{E}dV=\underset{V}{\iiint }\frac{\rho }{{\epsilon }_0}dV$

Använd Gauss sats.

$\underset{\partial V}{∯}\overrightarrow{E}\bullet \hat{n}dS=\underset{V}{\iiint }\frac{\rho }{{\epsilon }_0}dV$.

Sfärisk symmetri $\overrightarrow{E}=E\left(R\right){\overrightarrow{e}}_R$. $\hat{n}dS={\overrightarrow{e}}_{R}dS$.

Men jag vill försöka på mitt egna sätt innan jag lär mig ert och facits eventuellt snabbare sätt. Det hjälper mig att få ser hur och när symmetrin nollar saker i integrationen, annars känns det handwavy.

Mitt svar blir rätt förutom ett extra pi i svaret...

Jag tror inte att det stämmer vad du gör. Det finns ingen text som förklarar. (Och nej, text är inte "handwavy", text kan ge tydliga och stringenta resonemang.)

Detta med att fältet inuti en sfärisk laddning är noll överallt beror på att fältet avtar som r^-2. Det gäller inte för någon annan potens. 

Samma med att fältet utanför en sfärisk symmetrisk laddning kan räknas som fältet från en lika stor punktladdning i sfärens centrum.

Och samma med Gauss sats.

Om du skall lösa det med integral så måste du ställa upp rätt integral.

Om du vill utvärdera fältet i $\overrightarrow{R}$ så får du ett infinitesimalt bidrag till fältet från en liten volym dV med laddning lokaliserad i $\overrightarrow{r}$ enligt

$d\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{R}\right)=\frac{1}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0}·\frac{\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}}{{||\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}||}^3}·\rho dV$. Integrera över området V som innehåller laddning för att få totala fältet.

$\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{R}\right)=\underset{V}{\iiint }\frac{1}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0}·\frac{\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}}{{||\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}||}^3}·\rho dV$. Här är $\overrightarrow{R}$ fix och $\overrightarrow{r}$ integrationsvariabeln.

Tack, jag insåg att jag gjorde fel med både det där och jacobianen (saknas sin(t)), återkommer senare

Qetsiyah skrev:
saknas sin(t)

Det är statiska laddningar och fält, någon tid är inte inblandad.

Ja, det där är verkligen en klassiker att missa. Denna bilden fick man pränta in rejält:

Minns att jag brukade ha som kom-ihåg-regel att elementet ska ha noll volym vid $\theta=0$.