4 svar
120 visningar
henrikus 310 – Live-hjälpare
Postad: 18 maj 15:40 Redigerad: 18 maj 15:40

Elementa årgång 57 problem nummer 2965

Visa att arean T av triangeln ABC ges avT=p2tanA2tanB2tanC2där p betecknar hälften av triangelns omkrets.

(Alla problem från den nedlagda tidskriften Elementa finns här:

http://www.swe-math-soc.se/Elementaproblemen/

)

Jan Ragnar 254
Postad: 21 maj 12:24

För att komma igång med Elementa-uppgiften lägger jag in en inskriven cirkel i triangeln.

Triangelns omkrets är 2x + 2y + 2z.

Halva omkretsen p = x + y + z

Låter som en bra metod. Då får du ju halva vinklarna på köpet!

Jan Ragnar 254
Postad: 23 maj 16:40

Vi fortsätter med halva omkretsen

p = r*cot(B/2) + r*cot(C/2) + r*cot(A/2) = r*[cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)] =

   = r*[cot(A/2)*cot(B/2)*cot(C/2)]

 

Om vinklarna α + β + γ = 90˚ så gäller det att

cot(α) + cot(β) + cot(γ) = cot(α)*cot(β)*cot(γ)

 

Ytan T = 2*(r*x/2) + 2*(r*y/2) + 2*(r*z/2) = r*(x + y + z) = r*p =

             = p*tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)*p

 

”The triple cotangent identity” var inte något som ingick i matematiken vid min gymnasieutbildning i Göteborg på 60-talet. Troligen var det först som pensionär jag stötte på den i Eli Maors utmärkta bok Trigonometric Delights, utgiven 1998. Boken finns inte översatt till svenska, men vållar troligen inga stora problem för dagens gymnasister med bra  engelskakunskaper. För de första tre fjärdedelarna av boken räcker det med gymnasiekunskaper. För den sista fjärdedelen behövs nog en termin på universitet eller motsvarande.

 

Wikipedia har förstås information om tangens- och cotangenssatser.

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_trigonometric_identities#Tangent_and_cotangent

https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691158204/trigonometric-delights

 

Vill tacka henrikus för att Du återupplivade minnet av Elementa, som jag prenumererade på under ett antal år under 60-talet.

henrikus 310 – Live-hjälpare
Postad: 23 maj 23:00 Redigerad: 23 maj 23:02
Visa spoiler

α+β+γ=π2cotγ=cot(π2-α-β)=tan(α+β)cotα+cotβ+cotγ=1tanα+1tanβ+tan(α+β)=tanα+tanβtanαtanβ+tanα+tanβ1-tanαtanβ=(tanα+tanβ)(1tanαtanβ+11-tanαtanβ)=tanα+tanβtanαtanβ(1-tanαtanβ)=cotαcotβtan(α+β)=cotαcotβcotγ

Snyggt bevis! Snyggare än mitt som använde Herons formel.

Bevis av "the triple cotangent identity" i spoilern

Svara Avbryt
Close