14 svar
145 visningar
Föraren är nöjd med hjälpen!
Föraren 143
Postad: 11 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Elementära funktioner (2)

Nya uppgiften lyder:
cos4(x)+sin4(x)=12

Jag tänker direkt på (a+b)2 och får då

(cos2(x)+sin2(x))2-2×cos2(x)sin2(x)=12

cos2(x)+sin2(x)=1(cos2(x)+sin2(x))2=12=1(cos2(x)+sin2(x))2-2cos2(x)sin2(x)=1 21-2cos2(x)sin2(x)=12

Uh, nu slutade min hjärna att fungera...

SeriousCephalopod 840
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Annat alternativ är att använda trigonometriska ettan.

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018

Det är väl det jag har gjort?

SeriousCephalopod 840
Postad: 12 jan 2018

Du hade inte gjort det innan du redigerade inlägget.

Jag avsåg att du kunde gjort det som ett första steg för att göra så att ditt problem endast har cosinus is sig och inte både cosinus och sinus. Att se till att uttrycket man jobbar med endast har en typ av trigonometrisk funktion är i regel ett användbart trick för att förenkla problemet.

 

Vill du fortsätta med.tråden du löpt hittills rekommenderar jag att du jämför med sinus för dubbla vinkeln.

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018

Jag har räknat och försökt lösa uppgiften på smidigaste sätt. Finns det smidigare/enklare varianter att lösa på får man gärna hojta till! 

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Menar du att jag ska använda mig utav sin2(x)=1-cos(2x)2?

SeriousCephalopod 840
Postad: 12 jan 2018

Alternativ 1. Använd trigonometriska ettan för att göra problemet till ett cosinusproblem

(cos2(x))2+(sin2(x))2=12 (\cos^2(x))^2 + (\sin^2(x))^2 = \frac{1}{2}

(cos2(x))2+(1-cos2(x))2=12 (\cos^2(x))^2 + (1 - \cos^2(x))^2 = \frac{1}{2}

2(cos2(x))2-2cos2(x)2+1=12 2(\cos^2(x))^2 - 2 \cos^2(x)^2 + 1 = \frac{1}{2}

Detta är effektivt en andragradsekvation.

Alternativ 2. Används tricket du gjorde i sin lösning och när du kommer till

2cos2(x)sin2(x)=-12 2 \cos^2 (x) \sin^2(x) = - \frac{1}{2}

används sinus för dubbla vinkeln sin(2x)=2sin(x)cos(x) \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) för att skriva om ekvaitonen som

12(2cos(x)sin(x))2=-12 \frac{1}{2} (2\cos(x) \sin(x))^2 = - \frac{1}{2}

12sin2(2x)=-12 \frac{1}{2} \sin^2(2x) = - \frac{1}{2}

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Senaste uträkningen:

1-2cos2(x)sin2(x)=122cos2(x)sin2(x)-1=-122cos2(x)sin2(x)=1212(2cos2(x)sin2(x))2=1212(sin2(2x))=12sin2(2x)=1sin(2x)=±12x=arcsin(±1)2x1=-π2+k2π, 2x2=π2+k2πx1=-π4+, x2=π4+

I facit står endast x2. Varför gör det det? cos(v)=cos(-v) samt sin(v)=-sin(v)sin4(-v)=sin4(v)

Eller är jag fredagstrött?

Föraren skrev :

Senaste uträkningen:

1-2cos2(x)sin2(x)=122cos2(x)sin2(x)-1=-122cos2(x)sin2(x)=1212(2cos2(x)sin2(x))2=1212(sin2(2x))=12sin2(2x)=1sin(2x)=±12x=arcsin(±1)2x1=-π2+k2π, 2x2=π2+k2πx1=-π4+, x2=π4+

I facit står endast x2. Varför gör det det? cos(v)=cos(-v) samt sin(v)=-sin(v)sin4(-v)=sin4(v)

Eller är jag fredagstrött?

Det står nog inte exakt som ditt x2 x_2 i facit.

Visst står det x=π4+kπ2 (eller motsvarande), dvs med periodicitet π2?

---------------------------------------

Du kan nämligen slå ihop lösningsmängderna för 2x1 2x_1 och 2x2 2x_2 till följande: 2x=π2+kπ

Då får du att x=π4+kπ2

Du tänkte nog rätt, men råkade skriva fel och fick med extra exponenter på en rad (rödmarkerade).

Men de försvann sedan igen.

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018

Tack för att ni har extra koll, fel av mig. I facit står x=π4+kπ2. Förlåt.

Föraren skrev :

Tack för att ni har extra koll, fel av mig. I facit står x=π4+kπ2. Förlåt.

Det finns ingen anledning att be om förlåtelse. Det här är ju vad Pluggakuten handlar om!

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018

Jag förstår dock inte hur du slår ihop 2x1 och 2x2. Går det att förklara lite mer i detalj?

Yngve 9235 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018
Föraren skrev :

Jag förstår dock inte hur du slår ihop 2x1 och 2x2. Går det att förklara lite mer i detalj?

Alternativ 1: Inspektera de två lösningsmängderna och skriv upp de första lösningarna i var och en:

2x1: -π2, 3π2,7π2,11π2,15π2 och så vidare.

2x2: π2, 5π2,9π2,13π2,17π2 och så vidare.

Om vi skriver ihop dessa i en ordnad följd får vi:

-π2, π2, 3π2,5π2,7π2,9π2,11π4,13π2,15π2,17π2 och så vidare.

Denna följd kan på ett enklare sätt skrivas som π2+kπ 

Alternativ 2: Dela inte ens upp det i två lösningsmängder från början. Du har att sin(2x)=±1. Efter att ha tillfrågat oraklet Enhetscirkeln Den Allvetande så inser vi direkt att denna ekvation (egentligen dessa ekvationer) har lösningsmängden 2x=π2+kπ.

Föraren 143
Postad: 12 jan 2018

Super! 

Svara Avbryt
Close