Elementära funktioner - arctan

 Detta borde vara samma sak som att beräkna sinus och cosinus för vinkeln 2v om man vet vinkeln v. Åjo, plus lite till, men i huvuddrag...

Smaragdalena skrev:

 Detta borde vara samma sak som att beräkna sinus och cosinus för vinkeln 2v om man vet vinkeln v. Åjo, plus lite till, men i huvuddrag...

 Jo, men hur ska jag tänka när jag inte "kan" räkna ut vinkeln. Jag har miniräknare så visst kan jag, men på en tenta kommer jag ej ha det.

Hitta ett mönster? Så kan du istället bevisa enklare exempel?

Sätt v = arctan(2/3). Om du kan visa att 

tan(2v) = 12/5

så är du nästan hemma. 

Du skriver $\alpha = \arctan 2/3$ och $\beta = \arctan 12/5$ (du har skrivit 12/3 på pappret) och vill visa att

    $2\alpha = \beta.$

Du beräknar tangensvärden för de båda vinklarna med hjälp av tangens-för-dubbla-vinkeln.

    $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2\cdot 2/3}{1-4/9} = \frac{4/3}{5/9} = \frac{4\cdot9}{3\cdot5} = \frac{12}{5}.$

Detta är precis lika med $\tan \beta$, vilket du ville visa.

Egentligen ska du också argumentera för varför du kan dra slutsatsen att $2\alpha = \beta$ bara för att deras tangensvärden är samma. Kan du göra det?

Albiki skrev:

Du skriver $\alpha = \arctan 2/3$ och $\beta = \arctan 12/5$ (du har skrivit 12/3 på pappret) och vill visa att

    $2\alpha = \beta.$

Du beräknar tangensvärden för de båda vinklarna med hjälp av tangens-för-dubbla-vinkeln.

    $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2\cdot 2/3}{1-4/9} = \frac{4/3}{5/9} = \frac{4\cdot9}{3\cdot5} = \frac{12}{5}.$

Detta är precis lika med $\tan \beta$, vilket du ville visa.

Egentligen ska du också argumentera för varför du kan dra slutsatsen att $2\alpha = \beta$ bara för att deras tangensvärden är samma. Kan du göra det?

 Tack! Tror jag börjar fatta. Inte säker på att jag kan förklara. Jag tänker: Värdemängden för arctan(a)=x är ju -pi/2<x<pi/2 och alfa och beta är båda positiva vilket gör att vinklarna ligger i samma 1/4 av enhetscirkeln. Tangensvärdet är således också samma (om det visar sig vara samma altså, vilket det gör). Tänker jag rätt eller har jag missat?