En doftkula

jag förstår inte riktigt vilka samabadn jag kan använda.

Börja med formler för kulans volym, kulans volymändring per tidsenhet samt kulans area.

Ok så vi har att :

$$\begin{gathered} V=\frac{4r^3}{3}\mathrm{\pi } \\ \mathrm{v}=3,0{\mathrm{cm}}^3 \\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=2,0 {\mathrm{cm}}^3 \\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dv}}=\frac{1}{2,0} \\ \mathrm{dt}=\frac{\mathrm{dv}}{2,0} \\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dr}}=4{\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{dr}=\frac{\mathrm{dv}}{4{\mathrm{\pi r}}^2} \\ \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{dv}}{4{\mathrm{\pi r}}^2}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{dv}}{2,0}}} \\ \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{dv}}{4{\mathrm{\pi r}}^2}·\frac{2,0}{\mathrm{dv}} \\ \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{2,0}{4{\mathrm{\pi r}}^2} \\ \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{2{\mathrm{\pi r}}^2}=0,5{\mathrm{\pi r}}^2 \end{gathered}$$

Jag verkar få motstridande svar från a) uppgiften.

Arup skrev:

Jag verkar få motstridande svar från a) uppgiften.

Detta är ej sant

Men det stod ju: "Efter en månad är doftkulans volym 2,0 cm^3"

Betyder inte det här volymen är en funktion av tiden ?

Arup skrev:

Men det stod ju: "Efter en månad är doftkulans volym 2,0 cm^3"

Betyder inte det här volymen är en funktion av tiden ?

Jo det gör det, men dV/dt skall ha enheten volym/tid.

Vilken enhet ska jag använda för tid ?

Ska det stå 20/t ?

Arup skrev:

Vilken enhet ska jag använda för tid ?

Ska det stå 20/t ?

Uppgiften talar om att den minskat till 2,0 cm³ efter 1 månad. 

Du har dV, förändring i volym: cm³.

Du har dt, tiden för förändringen: månad.

Enheten för dV/dt måste alltså bli cm³/månad.

Det känns lite "konstigt" att skriva dv/dt=20/månad

oftast anges tid i S (från SI -enheter)

Arup skrev:

Det känns lite "konstigt" att skriva dv/dt=20/månad

oftast anges tid i S (från SI -enheter)

Ja, om du skriver 20/månad förstår jag att det är konstigt. 20 cm³/månad är korrekt.

Du kan räkna om till m³/s om du vill och då har du SI. Sedan frågar man ju i (b) efter månader så det gör det bara besvärligare.

Ok, jag tittade på b) uppgiften. 

Jag brukar ta en sak i taget.

Jag fick 0.7 cm^3, men vem vet…

Många uppgifter utgår ifrån att förändringen sker per sekund. I det här fallet används i stället förändring per månad. Man väljer den tidsperiod som är mest praktisk. Ska man beräkna hur folkmängden i en stad förändras väljer man nog förändring per år. Det viktigaste är att måtten i uppgiften är konsekventa. Om man räknar på ett isblock med volym i $d{m}^3$ och det står att sidan minskar med 1 cm per timma, så bör man omvandla 1 cm till 0,1 dm.

Uppgift a): I beskrivningen av uppgiften står det att volymändringen per tidsenhet ($\frac{dV}{dt}$) är proportionell mot kulans area. I inlägg #4 ser vi att $\frac{dV}{dr}$ = $4{\mathrm{\pi r}}^2$. Kombinerar vi dessa får vi sambandet $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}*\frac{dr}{dt}$. Genom formeln för ett klots area kan man visa att $\frac{dr}{dt}$ är en konstant.

När man ska lösa uppgift b) kan man använda informationen att $\frac{dr}{dt}$ är en konstant. Funktionen r(t) är alltså en rät linje. Tänk på räta linjens ekvation där antal månader är x-axeln och radien är y-axeln. Beräkna vilken radie som kulan har vid start och efter en månad. Då kan man få fram räta linjens ekvation för radien över tid. Beräkna radien när månaden är 4, och ta fram kulans volym månad 4.

Jag gjorde ett nytt försök

Från a) har vi att $\frac{dr}{dt}= k$

$\mathrm{\pi }$ försvann i uträkningen nedan, jag lade till den:

Räknar man ut radien efter 1 månad när volymen = 2 cm3 så får man:

Då får man två punkter (0; 0,8947) och (1; 0,7816)

För räta linjer gäller y = kt + m (vi använder t för tid här, i stället för x, y = radien)

m är y-värdet när x=0, alltså 0,8947.

Och $k = \frac{0,7816 - 0,8947}{1-0} = -0,1131$

Sätt in k och m i räta linjens ekvation ovan, så får man sambandet radie och tid.

Uppgiften gäller att beräkna volymen efter 4 månader. Så beräkna först radien efter 4 månader med funktionen ovan. När man fått fram radien kan man få fram volymen.

Varför försvinner pi från uträkningen ?

Pi försvann i din uträkning, jag lade till den. Jag uppdaterade min text, inlägg 18.

Trinity2 skrev:

Jag fick 0.7 cm^3, men vem vet…

Rättar mig själv då jag räknat fel på sista raden, 0.362369 cm^3, eller mera exakt

PS: Denna uppgift är från NP E-1996-02, uppg 14.

Kunde man lösa så här ?

Sten hut fick du fram x-koorfinaterna .

Detta vet vi inte

Det står ju efter en månad är volymen 2,0 cm^3

så borde det inte vara dv/dt ?

Arup skrev:

Det står ju efter en månad är volymen 2,0 cm^3

så borde det inte vara dv/dt ?

Den startar på 3 cm^3

och du säger att V'=2 cm^3/månad. 

a/ den ÖKAR i volym

b/ även om du hade skrivit -2 cm^3/mån så hade den efter 4 månader, det som söks, varit 3+(-2)*4 = -5 cm^3.

Något är fel...

Svar på fråga i inlägg #23.

I mitt inlägg #18 tittade jag på funktionen r(t), vars derivata är en konstant.

r(t) är alltså en rät linje på formen r(t) = kt + m
och har tid (antal månader) på x-axeln och kulans radie (cm) på y-axeln.

Volymen, och därigenom radien, på doftkulan är känd vid start (t=0) och efter en månad (t=1).

Genom att vi känner två punkter (0; 0,8947) och (1; 0,7816), så kan vi beräkna k, och senare m.

Trinity2 skrev:

Arup skrev:

Det står ju efter en månad är volymen 2,0 cm^3

så borde det inte vara dv/dt ?

Den startar på 3 cm^3

och du säger att V'=2 cm^3/månad. 

a/ den ÖKAR i volym

b/ även om du hade skrivit -2 cm^3/mån så hade den efter 4 månader, det som söks, varit 3+(-2)*4 = -5 cm^3.

Något är fel...

Nån gång har den avdunstat helt, och det hade kunnat vara efter 4 månader (men det är inte det). Men felet är att anta att volymen avtar linjärt.

Laguna skrev:

Trinity2 skrev:

Visa föregående citat

Arup skrev:

Det står ju efter en månad är volymen 2,0 cm^3

så borde det inte vara dv/dt ?

Den startar på 3 cm^3

och du säger att V'=2 cm^3/månad. 

a/ den ÖKAR i volym

b/ även om du hade skrivit -2 cm^3/mån så hade den efter 4 månader, det som söks, varit 3+(-2)*4 = -5 cm^3.

Något är fel...

Nån gång har den avdunstat helt, och det hade kunnat vara efter 4 månader (men det är inte det). Men felet är att anta att volymen avtar linjärt.

Det mera uppenbara(!) felet är väl att avdunstningen är >0, vilket ger en tillväxt...

I varje god redovisning anger man definitionsintervall, vilket i detta fall är [0,3^(1/3)/(-2^(1/3) + 3^(1/3))].

Hittade facit till övninhen

OK, är det något i den lösningen du vill att vi förklarar närmare?

Yngve skrev:

OK, är det något i den lösningen du vill att vi förklarar närmare?

Jag undrar varför Sten ville att jag skulle utgå från två punkter ?

Det jag skrev i inlägg #18 och #27 var för att svara på uppgift b).

Då tog jag fram radien för månad 0 och månad 1, för att hitta funktionen y=kt + m, där t är tiden i månader och y är radien i cm.

Har du löst b) på annat sätt så går det lika bra.