En explicit formel för månghörningar
Hej, jag ska formulera en explicit formel för diagonalerna i en månghörning.
Jag inser när jag ritar upp dem att en rektangel har två diagonaler, en femhörning har 5 st, en sexhörning har nio o.s.v. Differensen mellan dem ökar med ett. Hur gör man då? Är den rekursiv då?
Jag försökte med
Men kom inte längre än rektangeln och femhörningen...
Tacksam för hjälp!
Det är inte en aritmetisk följd, eftersom differensen inte är konstant. Du kan istället välja att resonera kombinatoriskt.
En diagonal går mellan två hörn. Du får alltså en möjlig diagonal för varje par av två hörn. Hur många sätt finns det att välja två hörn ur en regelbunden -hörning?
Notera dock att inte alla dessa val ger diagonaler. Vad händer om du väljer två intilliggande hörn?
soobin skrev:Hej, jag ska formulera en explicit formel för diagonalerna i en månghörning.
Jag inser när jag ritar upp dem att en rektangel har två diagonaler, en femhörning har 5 st, en sexhörning har nio o.s.v. Differensen mellan dem ökar med ett. Hur gör man då? Är den rekursiv då?
Jag försökte med
Men kom inte längre än rektangeln och femhörningen...
Tacksam för hjälp!
https://www.vedantu.com/maths/polygons-diagonals
Det finns ett problem i många "fiffiga-problem-böcker": Vid ett party med n deltagare skall alla skaka hand med alla. Hur många handskakningar blir det?" Här år det i stället så att om man står i en rund krets så skall man inte skaka hand med sina närmaste grannar (sidor i månghörningen). Är detta tips användbart?
soobin skrev:Hej, jag ska formulera en explicit formel för diagonalerna i en månghörning.
Jag inser när jag ritar upp dem att en rektangel har två diagonaler, en femhörning har 5 st, en sexhörning har nio o.s.v. Differensen mellan dem ökar med ett. Hur gör man då? Är den rekursiv då?
Jag försökte med
Men kom inte längre än rektangeln och femhörningen...
Tacksam för hjälp!
Denna kan lösas på många olika sätt, t.ex. rak logik, kombinatorik m.m. men även med rekursion/talföljd vilket jag tror är fokus i din kurs.
Låt a(n) vara antalet diagonaler i en n-hörning. Vi inser direkt att a(4)=2.
Tag nu en n-1 hörning, som har a(n-1) diagonaler, och addera ett nytt hörn, hörn nr. n
Från detta hörn kan du, utöver alla de redan befintliga diagonalerna dra n-2 nya diagonaler (du kan ej dra till hörnet till vänster och höger om hörn n, då de är närliggande hörn och därmed ej genererar en diagonal)
Alltså har vi relationen
a(n)=a(n-1)+n-2
med begynnelsevillkoret a(4)=2.
Det sistnämnda ger, via rekursionsformeln, att a(5)=5 och a(6)=9.
Nu kommer vi till en, för många, något diffus teori för talföljder och det är att den slutna lösningsformen, a(n), är ett 2:a-gradspolynom. Det får man bara "köpa", att förklara det är lite mera komplicerat.
Ansätt alltså
a(n) = An^2 + Bn + C
där A,B,C är konstanter.
Med de 3 värdena ovan får vi systemet
16A+4B+C=2
25A+5B+C=5
36A+6B+C=6
vilket har lösningen (A,B,C)=(1/2,-3/2,0) och vi har alltså
a(n) = 1/2 n^2 - 3/2 n = (n^2-3n)/2 = n(n-3)/2
som vi har funnit på annan väg i övriga inlägg.
Så tror jag det är tänkt att denna uppgift skall lösas.
