1 svar
63 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3213
Postad: 5 mar 2019 Redigerad: 5 mar 2019

En integral som rotar sig i pi.

Hej!

Följande problem är resultatet av min matematiksession denna tisdagskväll:

Bestäm ett exakt uttryck för värdet på integralen:

Albiki 4226
Postad: 5 mar 2019

Integranden kan uttryckas med en välkänd serie...

 

Visa spoilerx122·x132·x142=x122+132+142+x^{\frac{1}{2^2}} \cdot x^{\frac{1}{3^2}} \cdot x^{\frac{1}{4^2}} \cdots = x^{\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots }

 

Det är välkänt att denna serie antar värdet

 

Visa spoiler122+132+142+=π26-1\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}-1

 

så integralen är i själva verket lika med 6π2\frac{6}{\pi^2}.

Visa spoiler01xπ26-1dx=6π2.\displaystyle\int_{0}^{1} x^{\frac{\pi^2}{6}-1}\,dx = \frac{6}{\pi^2}.
Svara Avbryt
Close