En liksidig triangel inskriven i en kvadrat

Det finns tre färgade ytor. Två av dessa är långsmala, rätvinkliga trianglar vars hypotenusa ges av den liksidiga triangelns sida och vars längsta katet ges av S. Dessa är mao. likformiga.

Sätt en betäckning på de olika avstånden i figuren och försök hitta samband som gör att du kan eliminera vissa av betäckningarna så att de i stället står som uttryck, och se vad du kan komma fram till.

Ok

hur gör jag sen ?

Lägger upp din bild här.

ok

Jag verkar vara fast. Kan förklara mitt misstag

Höjden i den lilla avlånga triangeln är inte lika med höjden i den liksidiga triangeln, så det är fel att kalla båda två för s/2. Kalla dem till exempel a respektive b, då gäller det att a+b = s.

Men det är väl en kvadrat

Kortsidan i den smala triangeln plus en av de två kateterna i den likbenta triangeln är tillsammans samma som S, men det gör inte att de med nödvändighet är lika stora.

Om du kallar den inskrivna liksidiga triangelns sidlängd för "t", vad kan du då säga om kateternas längder i den likbenta triangeln i nedre vänstra hörnet?

Ok, ajg ska göra ett nytt försök

Jag förstår ännu icke vad ni menar jag skall göra. Jag har fullgjort all steg ni bad mig men får dessvärre felaktigt svar ;(

Vi har treblåa och en vit triangel: En av de vita trianglarna är rätvinklig och likbent och har sidorna b, b, och t. Två av de vita trianglarna är rätvinkliga och har sidorna a, b, och t. Den vita triangeln är liksidig och har sidan t. Vi vet också att a+b = s. Sökt: arean för den vita triangeln.

Sätt a = s-b. Då är arean av den likbenta triangeln lika med b²/2 och den andra sortens blå triangel lika med ab/2 = b(s-b)/2 och den vita triangeln har arean s²-b²/2-2b(s-b)/2 = s²-bs+b²/2.

Den likbenta triangeln har sidan b. Pythagoras sats ger att b²+b² = t²,  så t = $b\sqrt{2}$. Pythagoras sats på den andra blå triangeln ger att (s-b)²+s² = t² = 2b² => s²-2bs+s² = 2b² => b²+bs-s² = 0 som har lösningarna $b =\hspace{0.17em}-\frac{s}{2}\pm \sqrt{\frac{s^2}{4}+s^{2 }}=s\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) =\hspace{0.17em}s\varphi$ där fi är fibonaccis tal, som dyker upp överallt!

Den liksidiga triangeln har sidan $s\varphi$, så höjden är $h =\hspace{0.17em}\frac{s\varphi \sqrt{3}}{2}$enligt P.S. Arean blir då $A =\hspace{0.17em}\frac{s·{\displaystyle \frac{s\varphi \sqrt{3}}{2}}}{2} =\hspace{0.17em}{s}^2\frac{\varphi \sqrt{3}}{4}= s^2\frac{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)\sqrt{3}}{4} =\hspace{0.17em}{s}^2\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}\approx s^2·0,70$

@Smaragdalena vad var det för misstag jag gjorde när jag försökte lösa uppgiften

Svaret ska vara :$(2\sqrt{3} -3) S^2$

Då var min lösning fel.

Smaragdalena, de två blå (som du först kallar vita) lika trianglarna har sidorna a, s och t, inte a, b och t.

Fast nu ser jag att du inte använder det eller det första uttrycket för den sökta arean.
Men du får b>s (först tappad b²-term och sedan tappat minus).

Arup, är A_K kvadratens area? Det du skrivit är omkretsen. Ingen triangel har arean ab/2. Och bara två av de blå trianglarna är lika stora.

Tack Louis. Jag blandade omkretsen m. arean. My bad

Smaragdalena, de två blå (som du först kallar vita) lika trianglarna har sidorna a, s och t, inte a, b och t.

Det är ju det jag har räknat på när jag fick fram svaret med fi, fast jag skrev fel på första raden, och jag skrev fel i stycket innan.

Är det någon som kan få fram svaret från facit?

här : https://ncm.gu.se/media/namnaren/pdf/2010/nr_2/problem_10_2.pdf

de ger bara svaret men har dock ingen lösningsförslag

Jag gjorde på ett lite annat sätt.

$$\begin{gathered} x + x\sqrt{3} = s\sqrt{2} \\ x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}s\sqrt{2}/(1+\sqrt{3}) \end{gathered}$$

A = x²$\sqrt{3}$ som utvecklat blir facits svar.

Jag trodde $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

$var gyllene snittet$

Louis då var uppgiften inte så särskilt kluring eller ?

Hade nog överkomlicerat frågan

Jag trodde man skulle använda likformighet

Inget här som är likformigt (två kongruenta trianglar).

Du uttryckte arean riktigt som t²$\sqrt{3}$/4.
Nästa steg hade varit att uttrycka t i s och det kan du göra med lite räknande med Pythagoras.

(s-b)² + s² = t² 
t² = b² + b²
=> b = s($\sqrt{3} -1$)
t = b$\sqrt{2}$ = s($\sqrt{3} -1$)$\sqrt{2}$ som sätts in i areauttryckt ovan.

Jag gjorde så först innan jag såg den enklare varianten.

hur vet jag när jag kan applicera likformighet. Vad är skillnaden mellan likformighet och kongurens

Då måste det finnas figurer som är likformiga ;)

Dvs har "samma form". Kongruens: då är figurerna lika i allt (fast de kan vara speglade eller vända).

Louis du skrev på # 22 att jag får samma svar på facit om jag expanderar x² roten ur. Men jag vet ej hur jag kommer vidare 

jag menar$x^2\sqrt{3}$

förresten

$x^2\sqrt{3} = s^2*2{(1-\sqrt{3})}^2\sqrt{3}/4 = ...$

Visa vad du får.

Trinity 2:s lösning