Så liten area som möjligt

Jag skulle säga att det är betydligt enklare att bestämma arean som en funktion av lutningen: $k$.

Det blir summan av en rektangel och två trianglar:

$A(k)=5\cdot 2+...$

Jag förstår inte vad du menar

Hur kan man veta att höjden av triangeln A3 är -2k? Hur vet man att basen av triangeln A2=-5/k? Och att höjden av triangeln A2 är 5?

$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-(-2k)}{2}=k$
$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta y}=\frac{-5}{-5/k}=k$

Höjden av $A_2$ är 5 eftersom spetsen ligger i punkten (2,5).

tomast80 skrev:

$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-(-2k)}{2}=k$
$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta y}=\frac{-5}{-5/k}=k$

Höjden av $A_2$ är 5 eftersom spetsen ligger i punkten (2,5).

Det är fortfarande otydligt för mig hur du kom fram till värderna 

En annan variant: En linje som går genom (2, 5) har formeln y = 5 + k(x-2). Vi tar reda på var den skär koordinataxlarna. När x = 0 så är y = 5-2k. När y = 0 så är x = 2 - 5/k. Arean av triangeln är alltså (5 - 2k)(2 - 5/k)/2. Det här blir ett polynom delat med k, vilket är lättare att derivera.

Men hur vet du att grafen skär y axeln vid y=5 då x=0?

Laguna skrev:

En annan variant: En linje som går genom (2, 5) har formeln y = 5 + k(x-2). Vi tar reda på var den skär koordinataxlarna. När x = 0 så är y = 5-2k. När y = 0 så är x = 2 - 5/k. Arean av triangeln är alltså (5 - 2k)(2 - 5/k)/2. Det här blir ett polynom delat med k, vilket är lättare att derivera.

Snyggt! Det blir, som förväntat, samma $A(k)$ som jag fick fram.

Katarina149 skrev:

Men hur vet du att grafen skär y axeln vid y=5 då x=0?

Det stämmer ej, $x=0$ är två steg före $2$, alltså blir $y=5-2k$. Tänk på att $k<0$.

tomast80 skrev:

Katarina149 skrev:

Men hur vet du att grafen skär y axeln vid y=5 då x=0?

Det stämmer ej, $x=0$ är två steg före $2$, alltså blir $y=5-2k$. Tänk på att $k<0$.

Det känns svårare att hänga med din uträkning. Kan du istället förklara Lagunas metod?

Samma fråga, med tips om fortsättning, finns här.

Jag har läst igenom tråden. Så långt har jag lyckats komma.

Bra början.

Som du ser i figuren så hör både $k_1$ och $k_2$ till samma linje, så det måste gälla att $k_1=k_2$.

Du behöver alltså inte beräkna båda dessa värden (och att sätta dem lika med varandra kommer inte att ge någon ny information) .

Använd t.ex. $k=\frac{5-m}{2}$ och lös ut $m=5-2k$.

Sätt in det i uttrycket för arean, vilket ger dig $A=-\frac{(5-2k)^2}{2k}$

Nu har du ett uttryck för arean som endast beror av $k$.

Försök nu att hitta det minsta värdet detta uttryck kan anta med hjälp av någon av de metoder du har lärt dig tidigare. Tänk på att det måste gälla att $k<0$ för att det överhuvudtaget ska bli någon triangel.

Är jag på rätt väg?

Bra. Absolut på rätt väg.

Fortsätt nu med den vanliga metoden.

Kom ihåg att det bara är lösningar med negativt värde på k som är relevanta.

Visa på något sätt att det k-värde du får fram verkligen ger den minsta och inte den största arean.

Bra, du har kommit fram till rätt svar.

Det enda jag jag saknar är ett resonemang kring varför detta värde på k ger den minsta och inte den största arean.

Dessutom är resonemanget här inte helt rätt. Orsaken till att den positiva roten ska väljas bort är att hypotenusan ska ha negativ lutning.

Varför ska hypotenusan ha negativ riktning?

Får du någon triangel i första kvadranten om k är positivt?

Jaha så k ska vara negativt så att man får en triangel i första kvadranten 

Ja.

Om man skulle skriva ”största arean” då skulle man istället ha använt k värdet 2.5 (det positiva k värdet)

Hade det blivit någon triangel då?

Ja det borde det bli, i den andra kvadranten 

Eller i den fjärde, beroende på hur stor lutningen var. Men ingen av de trianglarna uppfyller villkoret i uppgiften.