En minsta triangel

Hej! Jag försöker lösa följande uppgift och undrar om jag tänkt rätt, framför allt gällande att finna det minsta värdet på arean:

En triangel har två av sina hörn i $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, och det tredje på den kurva i rummet som består av alla punkter $(1,1,a^2 +1)$, där $a$ är ett reellt tal. Beräkna arean av triangeln som en funktion av $a$, och ange dess minimala värde (Positivt orienterat ON-system).

 

Mitt försök ser ut så här:

Om triangeln utgörs av tre punkter, $P$, $Q$ och $R$ så kan vi få två sidor som vektorer, $u=\overline{PQ}=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0)$ och $v=\overline{PR}=(1,1,a^2+1)-(1,0,1)=(0,1,a^2)$. Arean av triangeln är då halva absolutbeloppet av vektorprodukten $u\times v$,

 

 

$\frac{1}{2} | \begin{vmatrix} -1 & 0 &  \overline{e}_{1} \ 1 & 1 & \overline{e}_{2} \ 0 & a^2 & \overline{e}_{3} \end{vmatrix} | =$

 

$\frac{1}{2} | \overline{e}_{1} \begin{vmatrix} 1 & 1  \ 0 & a^2 \end{vmatrix} -\overline{e}_{2} \begin{vmatrix} -1 & 0  \ 0 & a^2 \end{vmatrix} + \overline{e}_{3} \begin{vmatrix} -1 & 0  \ 1 & 1 \end{vmatrix}| =$

 

$\frac{1}{2} | (a^2-1, a^2, 0) |=$

 

$\frac{1}{2} \sqrt{(a^2-1)^2+(a^2)^2+0^2}=$

 

$\frac{1}{2} \sqrt{2a^4-2a^2+1}.$

 

Det minsta värdet får vi när $2a^4 -2a^2$ är så litet som möjligt. Vi kan finna extremvärden då derivatan är noll och vi får ett första nollställe då $a=0$:

 

$8a^3-4a=0$

$a^3-\frac{1}{2}a=0$

$a(a^2-\frac{1}{2})=0.$

 

Övriga nollställen fås genom 

 

$a^2-\frac{1}{2}=0$

$a=\pm \sqrt {\frac{1}{2}}.$

 

Sätter vi in dessa värden i formeln för arean får vi, $a=0$

 

$\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 0^4-2 \cdot 0^2+1}=\frac{1}{2}$

och för $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

 

$\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^4-2\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}.$

 

Eftersom $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} < \frac{1}{2}$ ger $a = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ den minsta arean på triangeln.