En sten släpps från en brunn

skulle jag kunna använda denna formel

$s\left(t\right)=s_i+v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Ett tips till denna uppgift är att du ritar upp en bra bild över situationen, och om du vill lösa den algrebraiskt kan du använda den formeln.

Glöm inte heller att den totala tiden 3 sekunder är tiden som det tar för stenen att falla och ljudet av plasket att komma upp igen.

Arup skrev:

skulle jag kunna använda denna formel

$s\left(t\right)=s_i+v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

jag antar att formeln du letar efter 'r S(t)=V₀t+0.5at²

Hur fick du accelerationen till 0,5 ?

accelerationen 'r inte 0.5 bara 1/2 omskrivet a st[r f;r accelerationen

Arup skrev:

skulle jag kunna använda denna formel

$s\left(t\right)=s_i+v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Ja, du kan använda den formeln för stenens färd ner mot vattnet.

Eftersom stenen släpps från vila (dvs stillastående) så är v_i = 0

Värdet på s_i bestäms av var du lägger origo och slutligen har du att a = g eller a = -g, beroende på om du väljer positiv riktning uppåt eller neråt.

jag glömde hur vi kunde "döpa" neråt som pssitivt/ negativt och vilka andra saker som jag behövde ta hänsyn till.

OK, behöver du hjälp med det nu?

kan va bra att ha det utrett

Om du väljer att lögga origo vid ursprungspositionen, dvs vid den punkt från vilken stenen släpps, så blir s_i = 0. Detta eftersom s_i betecknar initialpositionen.

Om du väljer att positiv riktning är neråt så böir a = g. Om du väljer positiv riktning att vara uppåt så blir a = -g. Detta eftersom tyngdkraften verkar vertikalt neråt.

Är det här en lämplig bild (den är AI genererad) men jag ville ha förståelse för situationen om jag ritar för hand

Nja, jag skulle nog istället rita den så här.

Den streckade pilen representerar den fallande stenen. Den accelererar neråt.

Den blåa pilen representerar ljudet från plasket. Ljudet rör sig med konstant hastighet uppåt.

Det som efterfrågas är längden på den blåa pilen, vilket lämpligen betecknas med x.

Jag har en fråga när det rör sig om konstant hastighet så är väl accelerationen noll ?

Ja, det stämmer.

Acceleration är lika med förändring av hastighet. Det betyder att om hastigheten inte ändras så är accelerationen lika med.0 (och vice versa).

=========

Med mattetermer:

Sambandet mellan accelerationsfunktionen a(t) och hastighetsfunktionen v(t) är a(t) = v'(t), dvs accelerationen är lika med tidsderivatan av hastigheten..

====

På samma sätt är v(t) = s'(t), dvs hastigheten är tidsderivatan av positionen.

====

Gör gärna följande övning:

Utgå från position som funktion av tid:

s(t) = s₀+v₀t+at²/2

Derivera detta uttryck och jämför med hur hastighetsfunktionen ser ut.

Derivera sedan denna hastighetsfunktion och jämför med hur accelerationsfunktionen ser ut.

====

Se även detta svar 

Vi har $$\begin{gathered} s\left(t\right)= s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2 \\ s\text{'}\left(t\right)=v_0+at \\ s\text{'}\left(t\right)=v\left(t\right)=v_0+at \end{gathered}$$

Ja, för stenens sträcka har vi att s = g•t²/2,

men för ljudets väg har vi s = 340•(3 - t)

Dessa sträckorna är lika.

Arup skrev:

Vi har $$\begin{gathered} s\left(t\right)= s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2 \\ s\text{'}\left(t\right)=v_0+at \\ s\text{'}\left(t\right)=v\left(t\right)=v_0+at \end{gathered}$$

Bra. Jag fortsätter lite med denna utvikning från själva uppgiften bara för att öka förståelsen kring sambanden.

Så kan vi gå.yillbaka till uppgiften sen.

Jämför ovanstående med formlerna för rörelse med konstant acceleration i din bok (kallas ibland även "likformigt föränderlig rörelse").

De borde se ut ungefär så här:

• s(t) = s₀+v₀t+at²/2
• v(t) = v₀+at
• a(t) = a

Ser du då att om du deriverar formel 1 så får du formel 2 och att om du deriverar formel 2 så får du formel 3?

J, det är logiskt och om jag integrerar med t så går jag baklänges

Det stämmer.

Bra att du nämner det där med integrering, för det belyser också det mycket användbara faktum att förändring av position under en tidsperiod är lika med integralen av hastighetsfunktionen under samma period.

Samt att förändring av hastighet under en tidsperiod är lika med integralen av accelerationsfunktionen under samma period.

Hoppas att det skapade lite förståelse för sambanden.

======

Nu tillbaka till uppgiften.

Kommer du vidare med hjälp av tipset du fick av Jan Ragnar i svar #18?

Arup skrev:

J, det är logiskt och om jag integrerar med t så går jag baklänges

Japp! Notera även att du får tillbaka s₀ och v₀, nästan.

$\int a dt=at + \mathit{C}$

Den där konstanten skippar man ibland, men här är den intressant. 

Vi döper om C till C₁ och integrerar en gång till:

$\int at+C_1 dt=\frac{a{t}^2}{2} +C_{1}t+{\mathit{C}}_{\mathbf{2}}$

Ser man på! En konstant till. 

Om vi nu kallar C₁ för v₀ och C₂ för s₀ är vi tillbaka där vi började, precis som du sade.

Yngve skrev:

Det stämmer.

Bra att du nämner det där med integrering, för det belyser också det mycket användbara faktum att förändring av position under en tidsperiod är lika med integralen av hastighetsfunktionen under samma period.

Samt att förändring av hastighet under en tidsperiod är lika med integralen av accelerationsfunktionen under samma period.

Hoppas att det skapade lite förståelse för sambanden.

======

Nu tillbaka till uppgiften.

Kommer du vidare med hjälp av tipset du fick av Jan Ragnar i svar #18?

Ja, jag väl skapa ett ekvationssystem?

Ja, det är en bra idé

Jan Ragnar skrev:

Ja, för stenens sträcka har vi att s = g•t²/2,

men för ljudets väg har vi s = 340•(3 - t)

Dessa sträckorna är lika.

Bonusfråga: I andra undrar jag vad det hade inneburit ifall jag hade skrivit$s=340(t-3)$

istället.

Det här är min tankegång

Utmärkt! Jag fick också ca 41 meter och att stenen faller i ca 2,9 sekunder. (Av de 3,0 sekunder som går tills man hör plumset så är det bara 100 ms det tar för ljudet att nå ens öra.)

Att illustrera med vt-diagram är utmärkt, men för att undvika förvirring bör man i så fall antingen rita det ena området under t-axeln eller förtydliga att det v som avses är farten, dvs absolutbeloppet av v.

Jan Ragnar skrev:

Jag undrar hur skulle lösningen ha blivit om vi löste den med vt-diagram istället ?

Arup skrev:

Jag undrar hur skulle lösningen ha blivit om vi löste den med vt-diagram istället ?

Bilden Jan Ragnar visade är ett tips på hur man kan lösa uppgiften med hjälp av ett vt-diagram (eller rättare sagt, ett |v|t-diagram).

För att gå vidare kan du utnyttja att triangelns area är lika stor som rektangelns area 

Förstår du varför?

Yngve skrev:

Arup skrev:

Jag undrar hur skulle lösningen ha blivit om vi löste den med vt-diagram istället ?

Bilden Jan Ragnar visade är ett tips på hur man kan lösa uppgiften med hjälp av ett vt-diagram (eller rättare sagt, ett |v|t-diagram).

För att gå vidare kan du utnyttja att triangelns area är lika stor som rektangelns area 

Förstår du varför?

nix, kan du förklara ?

förresten vad är skillnaden mellan vt graf och vt diagram ?

Arup skrev:

nix, kan du förklara ?

Det område som begränsas av en vt-graf motsvarar skillnaden i position. Om rörelsem sker i endast en riktning så är denna skillnad I position lika med tillryggalagd sträcka.

När stenen faller neråt så tillrggalägger den en sträcka som motsvarar triangelns area.

När ljudet från plasket rör sig uppåt så tillryggalägger det en ströcka som motsvaras av rektangelns area.

Dessa sträckor är lika stora (och lika med avståndet till vattenytan).

Därför måste dessa areor vara lika stora.

Arup skrev:

förresten vad är skillnaden mellan vt graf och vt diagram ?

Man bör nog skriva vt-funktionsgraf istället för vt-graf.

Läs gärna mer om diagram och grafer här.

Enligt önskemål från Arup försöker jag förtydliga lite runt v-t diagram.

Allra först kan vi fundera på hur snabbt och långt en sten faller på 1, 2 eller 3 sekunder. Eftersom v = g•t och s = g•t²/2, så har vi:

t s    v m/s s m

1        10       5

2       20    20

3       30    45

Eftersom det handlar om ett fall på runt 3 sekunder, så är det inte en mindre grävd brunn det handlar om, utan en borrad brunn på runt 40 meter.

Då ljudhastigheten är på 340 m/s så tar det omkring 40/340 = 2/17 ≈ 0,1 s för ljudet att komma upp till markytan.

Vi ritar nu ett v-t diagram, med Yngves råd i åtanke: