En till summaformeln

Jag måste visa summaformeln för alla positiva heltal:

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ .

Vi antar att det stämmer för n och att summan är lika med $2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ .

Vi testar att det stämmer för $n + 1$ :

$\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{2 * (n + 2)}{2 * 2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{2 n + 4 + n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{3 n + 5}{2^{n + 1}}$

... och inte $2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}$ som jag hoppades lite vilt!

När och var gick det åt skogen?

Titta på hur du skriver summan för n + 1. Du har gått händelserna i förväg här. Börja med att definiera:

$\sum_{k = 1}^{n + 1} (\frac{k}{2^{k}}) = 2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$

Detta vänsterled ska vara samma som $\sum_{k = 1}^{n} (\frac{k}{2^{k}}) + \frac{n + 1}{2^{n + 1}}$ . Då kan du ställa upp att:

$2 - \frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$ .

Kommer du vidare då?

Hmmmmm nej. Vilket misstag poängterar du så vanligt på?

Är det så att om minustecknet klättrar upp på bråken, och efter sitt illa dåd klättrar ner, får vi till slut $2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}$ ?

$2 + \frac{- 2 n - 4 + n + 1}{2^{n + 1}} \Leftrightarrow 2 + \frac{- n - 3}{2^{n + 1}} \Leftrightarrow 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}$

OMG mitt algebra är ännu värre än jag fruktade.

Du börjar med att definiera antagandet, mycket riktigt. Men sedan när du ska visa att det stämmer för n + 1 har du gått händelserna i förväg. Börja med att använda formeln, och skriv att $\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$ .

Sedan kan du separera summatecknet och säga att $\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k}{2^{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}}$ .

Det ska sedan vara samma sak som $2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$ .

(Du förstår nu varför jag har fått så många fel på läsförståelse på HP?)

Smutstvätt skrev :
Du börjar med att definiera antagandet, mycket riktigt. Men sedan när du ska visa att det stämmer för n + 1 har du gått händelserna i förväg. Börja med att använda formeln, och skriv att $\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$ .
Sedan kan du separera summatecknet och säga att $\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k}{2^{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}}$ .

Det ska sedan vara samma sak som $2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}}$ .

Nu har jag en matte 1 fråga:

$2 - \frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{3 n + 7}{2^{n + 1}} E L L E R 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}$ ? (enligt min klättrande minustecken uttryck?)

VL är lika med "n + 3"-alternativet, eftersom det var vad som gavs av ursprungsformeln. Men du missar en sak här, det går att skriva ihop nämnarna genom att förlänga mittenbråket som du gjort. Det är bara det att det blir något knas när du gör det. Hittar du vad?

PS: Tecken?

Hur många cred poängs har jag kvar, innan jag svarar?

28 cred-poäng kvar.

Det står en minus tecken framför $- \frac{n + 2}{2^{n}}$ ?? Är det det du tyder på?

Ja! Vad händer om du summerar de termerna?

Det händer att det ser ut som det ska.

*en cred poäng räddat utan att använda The Force, i detta fall distrahera Smutstvätt med en kattbild*

Svara Avbryt

Visa senaste svar