Mafy 2022 uppgift 19
Hej,
Jag har problem med att lösa följande uppgift om höjder i en triangel:
19. Två av höjderna i en triangel skär inte varandra och den spetsiga vinkeln mellan deras förlängningar är . Då gäller att
(a) en av triangelns vinklar är ;
(b) en av triangelns vinklar är ;
(c) det går inte att avgöra;
(d) det finns ingen sådan triangel.
Jag har fått en ritning på Geogebra där jag har identifierat de olika punkterna och linjesegmenten, men jag förstår inte hur linjesegmenten f och g representerar höjderna på triangeln. Jag skulle verkligen uppskatta om någon kan förklara hur linjesegmenten f och g relaterar till höjderna i triangeln och hur jag kan använda denna information för att lösa uppgiften. Vi vet dessutom att de inte skär varandra, utan att det är deras förlängningar som gör det, så jag vet inte om den ritningen heller är korrekt.
Kollade med ett annat forum och de är samstämmiga om att (c) är korrekt.
Har du gjort en egen ritning?
Dani163 skrev:... men jag förstår inte hur linjesegmenten f och g representerar höjderna på triangeln. Jag skulle verkligen uppskatta om någon kan förklara hur linjesegmenten f och g relaterar till höjderna i triangeln ...
- Den rödmarkerade delen av linjen f är en höjd i triangeln eftersom den är vinkelrät mot sidan BC och den skär det motstående hörnet A.
- Den rödmarkerade delen av linjen g är en höjd i triangeln eftersom den är vinkelrät mot förlängningen av sidan AC och den skär det motstående hörnet B.
(Se även detta svar om höjder i trianglar.)
Men jag skulle svara a).
(Skissen i Geogebra stämmer inte eftersom den spetsiga vinkeln mellan f och g inte är 45° där.)
Yngve skrev:Dani163 skrev:... men jag förstår inte hur linjesegmenten f och g representerar höjderna på triangeln. Jag skulle verkligen uppskatta om någon kan förklara hur linjesegmenten f och g relaterar till höjderna i triangeln ...
- Den rödmarkerade delen av linjen f är en höjd i triangeln eftersom den är vinkelrät mot sidan BC och den skär det motstående hörnet A.
- Den rödmarkerade delen av linjen g är en höjd i triangeln eftersom den är vinkelrät mot förlängningen av sidan AC och den skär det motstående hörnet B.
(Se även detta svar om höjder i trianglar.)
Den vinkelräta linjen du har dragit igenom B, hur är det en höjd hos triangel? Jag tänker att man behöver väl en linje ifrån basen som är vinkelrät och som också går igenom en vertex på triangeln. Notera dock att jag syftar på ifrån en triangel, så den lodräta linjen som går igenom B är inte ifrån samma triangel ABC, hur räknas den som en höjd hos triangeln ABC då?
I en trubbvinklig triangel, dvs i en triangel där en vinkel är större än 90°, så går alltid två av triangelns höjder utanför triangeln.
Så är fallet med triangel ABC i bilden i svar #3.
Läs avsnittet "Höjder" i Wikipedias artikel om trianglar. Där står det hur en höjd I en triangel definieras.
Fråga: Hur tänker du att höjden mot sida AC skulle se ut om det inte var den rödmarkerade sträckan av linje g?
Yngve skrev:Men jag skulle svara a).
(Skissen i Geogebra stämmer inte eftersom den spetsiga vinkeln mellan f och g inte är 45° där.)
En triangel har som bekant 3 höjder
se bilden nedan,
om höjderna a och c, förlängs och skär varandra i 45 graders vinkel, så har den röda triangeln en vinkel = 45 grader. (samma gäller för höjderna c och b)
Men det gäller inte för fallet om höjderna a och b förlängs och skär varandra med 45 graders vinkel.
Uppgiftens svar är alltså c.
Uppgiften är från 2022.
Ture skrev:Yngve skrev:Men jag skulle svara a).
(Skissen i Geogebra stämmer inte eftersom den spetsiga vinkeln mellan f och g inte är 45° där.)
En triangel har som bekant 3 höjder
se bilden nedan,
om höjderna a och c, förlängs och skär varandra i 45 graders vinkel, så har den röda triangeln en vinkel = 45 grader. (samma gäller för höjderna c och b)
Vad är motivationen för det?
Men det gäller inte för fallet om höjderna a och b förlängs och skär varandra med 45 graders vinkel.
Hur kommer det sig?
Försök visa det på egen hand, visa dina försök så kan jag hjälpa dig vidare om du kör fast.
Börja som alltid med en bild, du kan använda den som finns i inlägg #5 för att kolla att det första fallet gäller, det behövs ingen avancerad geometri utan det handlar om trianglar och vinkelsumma
För att kolla det andra fallet får du rita en ny bild.
Ture skrev:Försök visa det på egen hand, visa dina försök så kan jag hjälpa dig vidare om du kör fast.
Börja som alltid med en bild, du kan använda den som finns i inlägg #5 för att kolla att det första fallet gäller, det behövs ingen avancerad geometri utan det handlar om trianglar och vinkelsumma
För att kolla det andra fallet får du rita en ny bild.
Hur vet man att a är 45 grader till att börja med?
om du menar a i min bild så är det en höjd, inte en vinkel.
Om du menar vinkeln jag markerat innanför höjden så är den 45 eftersom vinkelsumman i en triangel är 180, och vinkeln längst ned är 45 och den tredje är rät
Ture skrev:om du menar a i min bild så är det en höjd, inte en vinkel.
Om du menar vinkeln jag markerat innanför höjden så är den 45 eftersom vinkelsumman i en triangel är 180, och vinkeln längst ned är 45 och den tredje är rät
Detta är vad jag har kommit fram till (bifogar också bild):
Den heldragna svarta linjen är själva triangeln, de röda strecken är höjderna och de streckade röda linjerna är förlängningarna. De blåa strecken är förläningarna för a och b, där de möts i en vinkel på 45 grader. Om vi låter den vinkeln bilda en triangel med den räta vinkeln från höjden b, så kan vi slå fast att den tredje vinkeln måste vara 45, det som är markerat med blått högst upp till vänster. Vi vet dock fortfarande inte vad vinkeln i orginaltriangeln är. På samma sätt kan vi dra en linje från höjden a som möter c i en vinkel på 45 grader. Då skapas en ny triangel, där spetsen är 45 grader och med en rät vinkel, den sista vinkeln uppe i vänstra hörnet måste då vara 45 grader, men vi vet inte vad vinkeln i orginaltriangeln är.
Alla grader som är 90 är markerade i skissen tror jag, övriga vinklar vet vi inte, förutom spetsen mellan förläningarna då som vi själva sätter till 45 grader.
Men för att sammanfatta, vi vet bara vinkeln hos förlängningen och att vi har en rät vinkel. Säger detta ingenting alls sen om övriga vinklar i originala triangeln? T.ex. att en vinkel är trubbig?
Vi får titta på 2 olika fall, som jag skrev i #7
Här är en bild på fall 1,
Vinkeln CDB är 45 grader, och vinkeln BCD är rät, då följer att vinkeln DBA också är 45 grader.
Triangeln AEB är rät alltså är vinkeln EAB också 45 grader.
Så i detta fall har alltså triangeln AFB en vinkel som är 45 grader.
I det andra fallet enligt #7 kan man inte dra någon slutsats om vinklarna i ursprungstriangeln.
Ture skrev:
Men det gäller inte för fallet om höjderna a och b förlängs och skär varandra med 45 graders vinkel.
Uppgiftens svar är alltså c.
Ja det stämmer. Jag tänkte inte på det fallet.
Ture skrev:Vi får titta på 2 olika fall, som jag skrev i #7
Här är en bild på fall 1,
Triangeln AEB är rät alltså är vinkeln EAB också 45 grader.
Hur får du det till att vinkeln EAB blir 45 grader om AEB är 90 grader, kan inte EAB vara 60 grader och EBA vara 30 grader då?
Så i detta fall har alltså triangeln AFB en vinkel som är 45 grader.
Jag ser inte hur du härleder det.
Vi börjar med triangeln DCB, är du med på att två hörn (CDB och DBA) är 45 grader? (eftersom vinkeln vid D är 45 grader enligt förutsättning i uppgiften)
I så fall: Betrakta triangeln AEB, eftersom hörnet vid E är 90 grader och hörnet DBA är 45 grader ger vinkelsumman i en triangel att även EAB är 45 grader.
Kika gärna igenom denna tråden som Smutstvätt och Conny har konstruerat:
