Enhet på x vid derivata

Derivatan kan du räkna ut som $\frac{∆y}{∆x}$ på tangenten (=en rät linje som precis nuddar kurvan i en punkt, typ). Nedan har jag ritat ut sinus funktionen först mellan 0 och $2\pi$ radianer och sedan mellan $0°$ och $360°$. Dessutom har jag ritat in tangenten vid $\pi$ (eller 180$°$). Sedan har jag sett till att koordinatsystemet är ortonormerat. Det betyder att skalan på axlarna är lika. Då ser du tydligt att det är väldigt mycket mindre lutning i fallet med grader. Närmare bestämt $\frac{\pi }{180}$ gånger mindre!

Så anledningen till att när man deriverar sin x där x anges i grader är eftersom att från början är det definierat för när x är i radianer och därför multiplicerar man med pi/180 för att få fram det i grader? 

Jag skulle uttrycka det så här:

Var du än väljer att rita din tangent i figur 2 så kommer lutningen att vara väldigt nära 0. Den kommer att ligga mellan $-\frac{\pi }{180} och \frac{\pi }{180} d.v.s. ungefär mellan -0,017 och 0,017$ Därför ser den röda linjen nästan horisontell ut. Lägg märke till att den blåa sinuskurvan fortfarande är "en våg" mellan 0 och 1 på y-axeln precis som i figur 1.

I figur 1 har den röda linjen lutningen -1 och det är ju inte alls lika nära 0. Att det ska vara just $\frac{\pi }{180}$ framför cos är lite krångligt att visa. Då behöver man studera gränsvärden och det kanske inte ingår i kursen?

Nej det ingår inte i kursen

Fast varför såtr x:et kvarn är man deriverar cos x där x är i radier varför kan det inte fortfarande stå x ifall x anges från början i grader?