Entydigheten av maclaurinutveckling

Hej!

Jag behöver hjälp med att förstå processen för att bestämma derivator av högre ordning m.h.a. maclaurinutvecklingen; $P_n\left(f\right)\left(x\right)=f\left(0\right)+\frac{f^{\text{'}}\left(0\right)}{1!}x+\frac{f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n$.

Låt oss nu säga att vi ska bestämma värdet till $D^{5}f\left(0\right), om f\left(x\right)=e^{2x}\sin \left(x\right).$

Jag vet att serieutvecklingen för produkten $e^{2x}\sin x är$;$f\left(x\right)=\left[1+\frac{2x}{1!}+\frac{(2x{)}^2}{2!}+\frac{(2x{)}^3}{3!}+\frac{(2x{)}^4}{4!}+\mathcal{O}\left(x^5\right)\right]\left[x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\mathcal{O}\left(x^{11}\right)\right]$.

Min intuition här är att bestämma: $D^{5}f\left(0\right)=5!c_5\left(f\right)\iff 5!\left(\frac{f^5\left(0\right)}{5!}\right)$.

Jag vet ej hur jag ska ta mig vidare här.