12 svar
80 visningar
Luffy är nöjd med hjälpen
Luffy 188
Postad: 23 sep 15:01

Envariabelanalys - Visa att funktion är konkav

Hej! Jag skulle behöva hjälp med den här uppgiften.

Min tankegång hittills är att jag kan använda mig av definitionen för en konkav funktion, som lyder:

En funktion f sägs vara konkav i [a,b]Df om -f är konvex i [a,b].

Jag tänker då att om jag lyckas visa att -fär konvex i intervallet då har jag väl visat att fär konkav i intervallet?

Hur jag kan komma fram till detta med hjälp av given information har jag ingen aning om.

Mohammad Abdalla 839
Postad: 23 sep 15:20

Om f är avtagande ---> f'<0

Om f' är avtagande ----> f''<0 vilket betyder att f är konkav.

Luffy 188
Postad: 23 sep 15:22
Mohammad Abdalla skrev:

Om f är avtagande ---> f'<0

Om f' är avtagande ----> f''<0 vilket betyder att f är konkav.

Jag håller med om att detta stämmer, men skulle detta verkligen vara tillräckligt som ett svar? Är det inte alltid så att man ska utgå ifrån definitionen och visa att påståendet stämmer överens med den?

Med tanke på hur du definierat konkav - hur definieras konvex?

Luffy 188
Postad: 23 sep 15:36
Smaragdalena skrev:

Med tanke på hur du definierat konkav - hur definieras konvex?

Definition: Funktionen f är konvex i ett intervall [a,b]Df om det för varje  x1,x2[a,b] gäller att

f(tx1+(1-t)x2)tf(x1)+(1-t)f(x2) för alla 0t1

Kan du berätta med ord vad detta betyder?

Luffy 188
Postad: 23 sep 16:05 Redigerad: 23 sep 16:06
Smaragdalena skrev:

Kan du berätta med ord vad detta betyder?

Det innebär som jag tolkar det: Att om vi har två valfria punkter på funktionsgrafen i intervallet och drar en sekant mellan dessa så kommer varje punkt på sekanten alltid ha ett funktionsvärde större än eller lika med funktionsvärdet som den ursprungliga funktionen antar i samma punkt.

Edit: Alltså kommer sekanten alltid att ligga ovanför eller längs med funktionsgrafen om det är en konvex funktion.

Kan du rita (på valfritt sätt) ett exempel på en konvex kurva och lägga upp bilden här?

Det verkar  somom det är en konkav kurva du definierar i ord.

Luffy 188
Postad: 23 sep 16:24
Smaragdalena skrev:

Kan du rita (på valfritt sätt) ett exempel på en konvex kurva och lägga upp bilden här?

Det verkar  somom det är en konkav kurva du definierar i ord.

T.ex

Dracaena 5500 – Moderator
Postad: 23 sep 16:42
Smaragdalena skrev:

Kan du rita (på valfritt sätt) ett exempel på en konvex kurva och lägga upp bilden här?

Det verkar  somom det är en konkav kurva du definierar i ord.

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

Om du skrollar ner lite till definitionen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function

@Luffy, det finns också exempel om du skrollar ner lite, kan detta gör livet enklare för dig eller är det fortfarande oklart?

Luffy 188
Postad: 23 sep 16:55 Redigerad: 23 sep 16:58
Dracaena skrev:

@Luffy, det finns också exempel om du skrollar ner lite, kan detta gör livet enklare för dig eller är det fortfarande oklart?

Det jag inte riktigt förstår är hur man ska sammankoppla att f' är avtagande till definitionen för en konkav funktion. 

Jag antar att man på något sätt måste bevisa att detta stämmer överens med definitionen för att fullständigt bevisa att det gäller. Annars som Mohammad Abdalla skrev i #2 "så Om f' är avtagande ----> f''<0 vilket betyder att f är konkav.", vilket i sig stämmer för att det verkar logiskt och ser logiskt ut om man ritar upp det, men även detta har ju inte bevisats.

Jag kanske övertänker och det kanske är för komplicerat för att visa det sättet jag tänker, men det känns helt enkelt "för simpelt" att endast säga att andraderivatan är negativ och därför är funktionen konkav och det är väl inte heller något "bevis".

Luffy 188
Postad: 24 sep 18:18

Bump

Försök bevisa 

  1. Om andraderivatan är negativ, så är förstaderuvatan avtagande
  2. Om förstaderivatan är avtagande, så är funktionen konvex

Om du behöver hjälp med detta, så skriv här i tråden.

Svara Avbryt
Close