7 svar
59 visningar
Hola 14
Postad: 12 aug 2019

Envariabelkalkyl - Riemannsumma

Hej, på uppgift 6 förstår jag inte hur de får cos(pi/2+cos(pi/2) på översumman. Bilden är väl enligt översumman, då borde väl värdena istället vara cos(pi)+cos(pi) eftersom det är där kurvan möter rektanglarna? Hur ser bilden ut ifall man istället räknar ut undersumman?

Vad är frågan? Hur är den formulerad?

Hola 14
Postad: 12 aug 2019

Smaragdalena 27011 – Moderator
Postad: 12 aug 2019 Redigerad: 12 aug 2019

Vad betyder L respektive U i din bok? Är det upper respektive lower?

Översumman har y-värdena 1 0 0 respektive 1 i de fyra intervallen. Undersumman har y-värdena 0 -1 -1 0 i de fyra intervallen.

Hola 14
Postad: 12 aug 2019

Ja precis. Jag förstår inte varför det blir cos(pi/2+cos(pi/2) på översumman?

Ebola Online 485
Postad: 12 aug 2019

Bilden är för både översumman och undersumman. Summorna är definierade som:

PN=(a=x0, x1, ..., xN=b)U(f, PN)=b-aNi=1Nf(xi*)  där  f(x)f(xi*)L(f, PN)=b-aNi=1Nf(xi*)  där  f(x)f(xi*)

Med andra ord är de två rektanglarna ovanför x-axeln översumman och de under x-axeln undersumman. Du kan leka med denna applet för att öka förståelsen: Upper and lower Riemann sum

Hola 14
Postad: 12 aug 2019

Jag har bara gjort uppgifter där grafen är över x-axeln, hur ska man tänka när den är under x-axeln som i den här uppgiften?

Albiki 4118
Postad: 12 aug 2019 Redigerad: 12 aug 2019

Hej!

Uppgift 6

Steg 1. Intervallet [0,2π][0,2\pi] delas in i n=4n=4 stycken delintervall

    [0,2π]=[t0,t1)[t1,t2)[t2,t3)[t3,t4]\displaystyle [0,2\pi] = [t_0,t_1)\cup [t_1,t_2)\cup[t_2,t_3)\cup[t_3,t_4]

där t0=0t_0=0 och t4=2πt_4=2\pi och övriga ändpunkter ges av tk=k4·2π.t_k = \frac{k}{4}\cdot 2\pi.

Steg 2. Integralen 02πf(x)dx\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx skrivs som en summa av integraler över delintervall.

    02π=t0t1+t1t2+t2t3+t3t4.\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} = \int\limits_{t_0}^{t_1} +\int\limits_{t_1}^{t_2}+\int\limits_{t_2}^{t_3}+\int\limits_{t_3}^{t_4}.

Steg 3. Över intervallet [t0,t1)[t_0,t_1) ersätts den varierande funktionen f(x)f(x) med den konstanta funktionen f(t0)f(t_0); det betyder att integralen t0t1f(x)dx\int\limits_{t_0}^{t_1}f(x)\,dx ersätts med talet t0t1f(t0)dx=f(t0)·(t1-t0)\int\limits_{t_0}^{t_1}f(t_0)\,dx = f(t_0)\cdot (t_1-t_0). Detta medför att integralen 02πf(x)dx\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx ersätts med den undre summan

    L(f,P4)=f(t0)(t1-t0)+f(t1)(t2-t1)+f(t2)(t3-t2)+f(t3)(t4-t3).L(f,P_4) = f(t_0)(t_1-t_0)+f(t_1)(t_2-t_1)+f(t_2)(t_3-t_2)+f(t_3)(t_4-t_3).

Steg 4. Över intervallet [t0,t1)[t_0,t_1) ersätts den varierande funktionen f(x)f(x) med den konstanta funktionen f(t1)f(t_1); det betyder att integralen t0t1f(x)dx\int\limits_{t_0}^{t_1}f(x)\,dx ersätts med talet t0t1f(t1)dx=f(t1)(t1-t0).\int\limits_{t_0}^{t_1}f(t_1)\,dx = f(t_1)(t_1-t_0). Detta medför att integralen 02πf(x)dx\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx ersätts med den övre summan

    U(f,P4)=f(t1)(t1-t0)+f(t2)(t2-t1)+f(t3)(t3-t2)+f(t4)(t4-t3).U(f,P_4)=f(t_1)(t_1-t_0)+f(t_2)(t_2-t_1)+f(t_3)(t_3-t_2)+f(t_4)(t_4-t_3).

Steg 5. Med funktionen f(x)=cosxf(x)=\cos x och tk=k4·2πt_k = \frac{k}{4}\cdot 2\pi blir den undre summan 

    L(f,P4)=π2·{cos0+cosπ2+cosπ+cos3π2}=\displaystyle L(f,P_4)=\frac{\pi}{2}\cdot \{\cos 0 + \cos\frac{\pi}{2} + \cos\pi + \cos\frac{3\pi}{2}\}=\ldots

och den övre summan

    U(f,P4)=π2·{cosπ2+cosπ+cos3π2+cos2π}=.\displaystyle U(f,P_4)=\frac{\pi}{2}\cdot\{\cos \frac{\pi}{2}+\cos\pi+\cos\frac{3\pi}{2} + \cos 2\pi\}=\ldots .

Svara Avbryt
Close