6 svar
32 visningar
Hola är nöjd med hjälpen!
Hola 14
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Envariabelkalkyl - volym av kropp

Hej, på denna fråga förstår jag inte det gula och blåa understrukna. Det gula understrukna: Jag förstår inte hur 2sin^2(x)=1. Det röda understrukna: Jag förstår inte hur uttrycket högst upp på bilden kan skrivas om till det blåa. Hur är de gröna understrukna lika med varandra? Och hur har det blåa skrivits om?

Laguna 5329
Postad: 1 jun 2019

Jag förstår till att börja med inte vad det står på första raden.

Hola 14
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Det här är början på lösningen

AlvinB 3163
Postad: 1 jun 2019

Det där ser ut som en helt annan uppgift! (Det verkar vara facit till uppgift 1, men vi är på uppgift 3?)

Till den här uppgiften skall du väl ändå beräkna integralen:

π-π2π23sinx2 dx\displaystyle\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(3\sin\left(x\right)\right)^2\ dx

Hola 14
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Oj jag råkade skicka fel fråga, nu har jag ändrat

AlvinB 3163
Postad: 1 jun 2019

Facit har ett fulknep (ett väldigt omständigt sådant) för att beräkna integralen:

0πsin2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx

Vad man gör är att man tillämpar partialintegration:

abfxgx dx=[fxGx]ab-abf'xGx dx\displaystyle\int_a^b f\left(x\right)g\left(x\right)\ dx=[f\left(x\right)G\left(x\right)]_a^b-\int_a^bf'\left(x\right)G\left(x\right)\ dx

och låter f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) och g(x)=sin(x)g(x)=\sin(x). Då blir f'(x)=cos(x)f'(x)=\cos(x) och G(x)=-cos(x)G(x)=-\cos(x). Partialintegrationsformeln ger då:

0πsin2x dx=0πsinx·sinx dx=[sinx·-cosx]0π=0-0π-cosx dx=\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\int_0^\pi\sin\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)\ dx=\underbrace{[\sin\left(x\right)\cdot\left(-\cos\left(x\right)\right)]_0^\pi}_{=0}-\int_0^\pi-\cos\left(x\right)\ dx=

=0πcos2x dx=\displaystyle\int_0^\pi\cos^2\left(x\right)\ dx

Vi får alltså likheten:

0πsin2x dx=0πcos2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\int_0^\pi\cos^2\left(x\right)\ dx

Med trigonometriska ettan får vi sedan att cos2(x)=1-sin2(x)\cos^2(x)=1-\sin^2(x):

0πsin2x dx=0π1-sin2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\int_0^\pi1-\sin^2\left(x\right)\ dx

0πsin2x dx=0π1 dx-0πsin2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\int_0^\pi1\ dx-\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx

0πsin2x dx=π-0πsin2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\pi-\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx

Om vi nu adderar integralen till båda led får vi:

0πsin2x dx+0πsin2x dx=π-0πsin2x dx+0πsin2x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx+\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\pi-\cancel{\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx+\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx}

20πsin2x dx=π\displaystyle2\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\pi

0πsin2x dx=π2\displaystyle\int_0^\pi\sin^2\left(x\right)\ dx=\frac{\pi}{2}

Och vips så har vi trollat fram att integralens värde är π/2\pi/2!

Detta tycker jag är väldigt krångligt. Det går även att få fram värdet med hjälp av identiteten:

sin2x=1-cos(2x)2\sin^2\left(x\right)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}

vilket är betydligt vanligare än att göra allt det där krånglet med partialintegration.

Hola 14
Postad: 1 jun 2019

Åhh tack så jättemycket för hjälpen!!

Svara Avbryt
Close