43 svar
46 visningar
itsanii4 är nöjd med hjälpen
itsanii4 51
Postad: 24 nov 20:07

Epsilon-delta

Hej, jag har  denna gränsvärde limxcos (x)x

Jag försöker ta reda på epsilon men har inte sett några exempel på hur man gör med cos eller sin. En gissning jag har är x < arccos(ε*x). Men det borde inte stämma tror jag. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:15

–1 ≤ cos x  ≤ 1 så 

– 1/x ≤ uttrycket ≤ 1/x

Vad händer med vänstra och högra leden när x går mot oändligheten?

itsanii4 51
Postad: 24 nov 21:21

Höger och vänsterleden går mot noll. Innebär det att epsilon är 1/x?

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:22

Om uppgiften verkligen var att få fram gränsvärdet med epsilonmetodik kan du välja ett godtyckligt litet eps. och visa att för w = 1/(2 eps) är

–eps < – 1/x < 1/x < eps  så snart x > w.

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:28

Nej, epsilon är inte 1/x. 

Det är ett spel. Först väljer jag epsilon. Sedan hittar du ett tal w som är tillräckligt stort för att 1/x ska vara mindre än epsilon för alla x > w.

Men hela spelet går ut på att jag måste välja först. Jag kan välja ett mindre epsilon, men då väljer du ett större w.

itsanii4 51
Postad: 24 nov 21:29

Frågan lyder såhär.

Använd ett datorprogram för att rita upp funktionen g(x) = 1/x *(cos(x)) för stora x.
Ungefär hur stort måste N vara för att g(x) inte ska avvika från 0 med mer  än ε = 0, 1?
Hur blir det istället om ε = 0, 01?

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:32

I detta fall så går höger- och vänsterleden mot noll. Vi har alltså

a < (cosx)/x < b

Om a och b går mot noll så måste ledet i mitten också göra det.

 

Men du har ställt en annan fråga, jag tittar på den

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:39

Sorry datorn lade av. Återkommer

itsanii4 51
Postad: 24 nov 21:40

Yes, det går bra.

(cosx)/ x går mot noll. Men jag ska ta hänsyn till stora x och då är 1/x relevant. Blir det då 1/x < ε alltså 1/x < 0,1? Hur blir det med N?

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:46

Ja du är på rätt väg. Först väljer du epsilon, säg 0,1. Nu tittar vi på (cosx)/x. Det är en böljande kurva som närmar sig x-axeln. Den avviker aldrig mer än 1/x från x-axeln. Någonstans för x = 1/0,1 = 10 så ligger kurvan närmare x-axeln än epsilon.

Vi drar till med N = 11. I så fall vet vi att ±epsilon stänger in kurvan för alla x > N.

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:49 Redigerad: 24 nov 21:50

Sedan har vi epsilon = 1 / (1miljard)

Väljer du N = (1/eps) +1 = 1000000001 så ligger garanterat kurvan i det tunna bandet 

–eps < y < epsilon         när x > N

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:52

Så ett svar på frågan är 

Till varje epsilon väljer jag N = 1/eps. +1

itsanii4 51
Postad: 24 nov 21:57

Det är för komplicerat för mig att förstå. Kan du underlätta det lite mer? 

Varför är N = 11? Vart kommer +1 ifrån? Hur vet jag ifall N ligger i kurvan eller inte?

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 21:58

Med en grafritare kanske du kan se att för några godtyckliga epsilon kan du alltid välja 

N = 1/eps     +1

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:01

Var inte 1/x < eps. Hur kommer det sig att det är 1/eps. 

Jag har denna framför mig men vet inte hur jag ska läsa av det du säger. 

https://www.desmos.com/calculator/inhr2rj5rs 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:02 Redigerad: 24 nov 22:14

Detta är svårt att förstå även om jag är i samma rum och ritar och pekar.

 

Men bokens förslag tycker jag är bra. Rita kurvan. Titta på x > 10. Hur långt från kurvan kommer vi som längst, till höger om x = 10. Titta på kurvan till höger om x = 100, samma fråga.

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:04

Jättebra. Kan du lägga in y = 1/x och y = –1/x i samma system?

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:05

Jag ser nu varför du lägger till +1. y är lika med noll då. Vilket betyder att den skär eller går igenom x-axeln. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:05

Nej,

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:07

Jag lägger till 1 för att Säkert vara till höger om ett känsligt fall. Jag kan lägga till tusen om jag vill.

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:10

Tänk att du har en riktigt bred penna. Bredden är 2 epsilon. Drag pennan längs x-axeln så att det blir ett band med x-axeln i mitten. Hur stort behöver x vara för att hela kurvan åt höger ska ligga i bandet?

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:10

https://www.desmos.com/calculator/wnoajuhtkf

När x = 11 så är vi mitten av de två yttre kurvorna. Ska tänka på frågan du skrev precis. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:12

Det var otur. Det var inte meningen att hamna i mitten, det lurar dig att tänka fel.

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:20

Jag tror x måste vara 0,5 för att hela kurvan åt höger ska ligga i bandet. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:22

Du tänker nog rätt men skriver fel. x är Stort, 0,5 är ointressant. 0,5 är intressant i y-led. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:29

Men säg att epsilon är 0,05. Din penna är så bred att du färgar ett band 0,05 över och under x-axeln. Hur stort x krävs för att kurvan alltid ska llgga i bandet?

1/eps = 20. Tittar du på kurvan ser du att vid x = 19 ligger kurvan på 0,52 ungefär, alltså utanför bandet. Vi lägger på litet grand för att vara på säkra sidan. 1/eps +1 = 21.

Till höger om x = 21 gäller säkert att –eps < (cosx)/x  < +eps

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:29

Dvs kurvan ligger helt i färgade bandet.

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:40

x = 19,142 krävs för att kurvan ska ligga i bandet. 

Men om 20 ligger i bandet varför behöver man lägga till 1? 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:41

Egentligen tror jag att vi ska gå till definitionen. 

Vi ska visa att (cos x)/x går mot NOLL när x går mot oändligheten.

Det betyder att till varje positivt epsilon kan vi hitta ett N så att 

NOLL – epsilon < (cos x) /x < NOLL + epsilon

för alla x större än N

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:44
itsanii4 skrev:

x = 19,142 krävs för att kurvan ska ligga i bandet. 

Men om 20 ligger i bandet varför behöver man lägga till 1? 

BRA fråga

Bara för att slippa räkna ut x = 19,142. Vi lägger till 1 eller dubblar, whatever. Vi ska säkert vara på rätt sida. Vi har en oändlighet att slösa med, ingen mening att knussla.

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:48

Jag förstår nu, innebär det att jag kan välja +2 om jag vill för att vara på säkra sidan?

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:49

Grejen är att jag får 20 när jag dividerar 1 med 0.05. Hur ska jag själv komma på att lägga till 1. Jag får ju inte 19.142

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:49

I min definition ovan gäller alltså att N = 1/eps räcker. Men det kan bli väldigt tight ibland, jag lägger på 1 så det inte ska bli något tjafs, och svarar att för x > N = 1/eps  +1 gäller villkoret.

itsanii4 51
Postad: 24 nov 22:50

Jaha, eftersom 20 ligger för nära 19,142 lägger du till 1 för att vara säker. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:54
itsanii4 skrev:

Grejen är att jag får 20 när jag dividerar 1 med 0.05. Hur ska jag själv komma på att lägga till 1. Jag får ju inte 19.142

Grejen är att (cos x)/x är knölig. Vi tittar på 1/x i stället för (cos x) / x ligger aldrig utanför bandet när 1/x ligger innanför. 
Och 1/x är Precis 0,05 för x = 20. Så därför tar vi ett steg till höger om 20

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:55

Oj skrev i din ruta, sorry

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 22:59
itsanii4 skrev:

Jag förstår nu, innebär det att jag kan välja +2 om jag vill för att vara på säkra sidan?

Såg inte frågan. Ja, du kan ta +2tusen om du vill

itsanii4 51
Postad: 24 nov 23:00

Ok, I get it. Men istället för 0.05 kollar jag då med 0.1 och 0.01 som exempel då jag fick de i frågan. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 23:03

Just det. För eps = 0,1 kan du välja N = 1/eps + 1 = 11

för eps = 0,01 kan du välja N = 100+1

för eps = 10^(–100) kan du välja N = en googol +1

itsanii4 51
Postad: 24 nov 23:06

Så N varierar mellan olika epsilon värden. T.ex. Med 0,05 fick vi 21 medan med 0.1 fick vi 11. Sättet att ta reda på N är detsamma. 

itsanii4 51
Postad: 24 nov 23:07

Tack så mycket! Det måste ha varit svårt att förklara mycket såhär sent på kvällen. Jag ska samla mina tankar och så återkommer jag ifall jag har frågor om ämnet. 

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 23:09 Redigerad: 24 nov 23:10
itsanii4 skrev:

Så N varierar mellan olika epsilon värden. T.ex. Med 0,05 fick vi 21 medan med 0.1 fick vi 11. Sättet att ta reda på N är detsamma. 

Ja men om du ska visa att 1 / (roten ur x) går mot oändl får du välja N = 1 / (eps^2) +1

 

Roligt att du orkade. Detta är svårt, har orsakat många psykbryt bland mattestud. 

itsanii4 51
Postad: 24 nov 23:11

Hahaha har haft många idag men det löste sig tack vare din hjälp. Tack igen!

Mogens Online 912
Postad: 24 nov 23:11

Tack själv

Svara Avbryt
Close