Ett företag tillverkar två typer av dricksglas

Så jag ska hitta arean mellan x-axeln och funktionen $y=a{x}^2+bx+c$?

Är detta en rotationskropp då, eller bara en vanlig integral, alltså arean över grafen $y=a{x}^2+bx+c$?

En rotationskropp.

Okej, om jag ställer upp funktionen y=ax^2+bx+c först. Funktionen skär y-axeln vid -1 så c=-1. Sen är the rise/run = 1/3,5. Den är samma som 2/7, sen är det en $x^2$graf, så ${\left(\frac{2}{7}\right)}^2=\frac{4}{49}$.

Funktionens formel är alltså $y=\frac{4x^2}{49}-1$. Detta känns som ett extremt dumt sätt att komma på vad funktionens formel är, fanns det ett lättare sätt?

Sen när jag lägger upp integralen, vilka gränsvärden ska jag använda? Är det x=0 till x=3,5 och sen ta allt gånger två eftersom jag letar efter hela volymen? För om jag sätter gränsvärdena som x=-3,5 och x=3,5 blir det väl bara noll?

Eller är det att när man räknar ut rotationsvolymen på 0 till 3,5, är det att man räknar ut allting som roterar runt y-axeln? Alltså svaret man får från gränsvärdena x=0 till x=3,5 blir hela volymen för konen runt y-axeln?

Och det är därför man inte ska använda x=-3,5 och x=3,5 för att det är basically som att säga vad är skillnaden mellan hela volymen minus hela volymen?

När det gäller funktionens formel så skulle först fått fram $c = -1$ på samma sätt som du.
Eftersom kurvan är symmetrisk kring $x = 0$ så vet jag att $b = 0$.
Slutligen skulle jag satt in punkten då kurvan skär $x$-axeln och löst $a$ ur $0 = a·{\left(\frac{7}{2}\right)}^2 -1$

När det gäller volymen så är det som du kom på viktigt att du roterar kurvan runt $y$-axeln.
Sen får du integrera från $y = -1$ till $y = 0$.

Kör på som jarenfoa föreslår, men om integralen blir ohanterlig kan du använda skalintegral av x från 0 till 3,5. Viktigt att ha båda metoderna i lådan.

Mogens skrev:

Kör på som jarenfoa föreslår, men om integralen blir ohanterlig kan du använda skalintegral av x från 0 till 3,5. Viktigt att ha båda metoderna i lådan.

Jag vet inte hur man gör det, skulle du kunna förklara vad skalintegral är för något?

Men okej, tror vad jag gjorde för fel när jag gjorde detta själv va att inte fatta att jag ska integrera från y=-1 till y=0, jag gjorde x=0 och x=3,5 istället. Whoops. 

Men om jag fortsätter:

$$\begin{gathered} ∆V=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·∆\mathrm{y} \\ {\mathrm{r}}^2=\mathrm{x} \\ \mathrm{y}=\frac{4{\mathrm{x}}^2}{49}-1 \\ \mathrm{y}+1=\frac{4{\mathrm{x}}^2}{49} \\ 49(\mathrm{y}+1)=4{\mathrm{x}}^2 \\ \frac{49}{4}\left(\mathrm{y}+1\right)={\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{x}=\sqrt{\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ∆V=\mathrm{\pi }·{\left(\sqrt{\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}}\right)}^2·∆\mathrm{y} \\ {\int }_{-1}^0\mathrm{\pi }·\left(\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}\right)·\mathrm{dy}= \\ \mathrm{\pi }·{\int }_{-1}^0\left(\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}\right)·\mathrm{dy}= \\ \mathrm{\pi }{[\frac{49{\mathrm{y}}^2}{4·2}+\frac{49\mathrm{y}}{4}]}_{-1}^0= \\ \mathrm{\pi }\left(0\right)-\mathrm{\pi }(\frac{49{(-1)}^2}{8}+\frac{49(-1)}{4})= \\ -\mathrm{\pi }(\frac{49}{8}-\frac{49}{4})= \\ -\mathrm{\pi }(\frac{49}{8}-\frac{98}{8})= \\ -\mathrm{\pi }(-\frac{49}{8})= \\ \frac{49\mathrm{\pi }}{8}\approx 19,24 \mathrm{v}.\mathrm{e}. \end{gathered}$$

I en skivintegral ser man volymen som ett antal tunna skivor med radie som ges av en kurva $y\left(x\right)$:
$V = \int \pi ·y{\left(x\right)}^{2}dx$

I en skalintegral ser man volymen som ett antal tunna cylinderformade skal med radie $x$
och höjd som ges av en kurva $y\left(x\right)$:
$V =\hspace{0.17em}\int 2\mathrm{\pi x}·\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

En skivintegral av $y\left(x\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $x$-axeln.
En skalintegral av $y\left(x\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $y$-axeln.

Men man kan också invertera kurvan och uttrycka den som $x\left(y\right)$

En skivintegral av $x\left(y\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $y$-axeln.
En skalintegral av $x\left(y\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $x$-axeln.

Tompalomp skrev:

$$\begin{gathered} ∆V=\mathrm{\pi }·{\left(\sqrt{\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}}\right)}^2·∆\mathrm{y} \\ {\int }_{-1}^0\mathrm{\pi }·\left(\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}\right)·\mathrm{dy}= \\ \mathrm{\pi }·{\int }_{-1}^0\left(\frac{49\mathrm{y}}{4}+\frac{49}{4}\right)·\mathrm{dy}= \\ \mathrm{\pi }{[\frac{49{\mathrm{y}}^2}{4·2}+\frac{49\mathrm{y}}{4}]}_{-1}^0= \\ \mathrm{\pi }\left(0\right)-\mathrm{\pi }(\frac{49{(-1)}^2}{8}+\frac{49(-1)}{4})= \\ -\mathrm{\pi }(\frac{49}{8}-\frac{49}{4})= \\ -\mathrm{\pi }(\frac{49}{8}-\frac{98}{8})= \\ -\mathrm{\pi }(-\frac{49}{8})= \\ \frac{49\mathrm{\pi }}{8}\approx 19,24 \mathrm{v}.\mathrm{e}. \end{gathered}$$

Ja, här gjorde du en skivintegral av $x\left(y\right)$

Hur stor andel blir det?

glasets volym:

$$\begin{gathered} V=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h} \\ =\mathrm{\pi }·{\left(\frac{7}{2}\right)}^2·8 \\ =\mathrm{\pi }·\left(\frac{49}{4}\right)·8 \\ =\mathrm{\pi }·\frac{392}{4} \\ =98·\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Nedre delens volym: $\frac{49\mathrm{\pi }}{8}$

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$49\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$8$}\right.}}{98\mathrm{\pi }}= \\ \frac{49\mathrm{\pi }}{8}·\frac{1}{98\mathrm{\pi }}= \\ \frac{49\mathrm{\pi }}{8·98\mathrm{\pi }}= \\ \frac{1}{8·2}= \\ \frac{1}{16} \end{gathered}$$

Volymen ökar med 1/16 del. 

jarenfoa skrev:

I en skivintegral ser man volymen som ett antal tunna skivor med radie som ges av en kurva $y\left(x\right)$:
$V = \int \pi ·y{\left(x\right)}^{2}dx$

I en skalintegral ser man volymen som ett antal tunna cylinderformade skal med radie $x$
och höjd som ges av en kurva $y\left(x\right)$:
$V =\hspace{0.17em}\int 2\mathrm{\pi x}·\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

En skivintegral av $y\left(x\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $x$-axeln.
En skalintegral av $y\left(x\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $y$-axeln.

Men man kan också invertera kurvan och uttrycka den som $x\left(y\right)$

En skivintegral av $x\left(y\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $y$-axeln.
En skalintegral av $x\left(y\right)$ ger volymen när kurvan roteras runt $x$-axeln.

Oh, så jag kunde alltså ha använt x=0 och x=3,5 för denna funktion (som roterar runt y-axeln), men då hade jag behövt använda skalintegral istället?

Ja, med ett förbehåll.
Eftersom $y$ är en kurva som har negativa värden på det område vi var intresserade av hade du fått ut en negativ volym. Sånt får man se upp med när man gör skalintegraler.

Ah, okej. Men då är det bara att avse från minus tecknet, eller hur? Eftersom integraler kan vara negativa men areor och volymer kan inte vara negativa?

Om kurvan man integrerat alltid är negativ kan man bortse från minustecknet.
Men om du hade fortsatt att integrera förbi punkten där kurvan blir positiv hade du behövt vara extra försiktig.
Då börjar positiva och negativa integraler ta ut varandra. 

Skivintegraler är i regel lättare att förstå och har färre möjligheter att göra fel.
Därför skulle jag rekommendera dem i första hand.

jarenfoa skrev:

Skivintegraler är i regel lättare att förstå och har färre möjligheter att göra fel.
Därför skulle jag rekommendera dem i första hand.

Okej, jättefint. Tack för förklaringen!