Ett grönområde

På C) vet jag inte inte riktigt nåt bra sätt att förklara för någon som läser matte 1. Men given samma omkrets kommer alltid en kvadrat ha störst area jämfört med en rektangel.

Om nån tycker det är intressant, så kommer beviset här:

Vi har en rektangel med omkrets P, och sidorna x och y.

$$\begin{gathered} P = 2x+2y \left(1\right) \\ A = xy \left(2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Från \left(1\right) kan vi härleda: \\ y = -x + \frac{P}{2} \left(3\right) \end{gathered}$$

Stoppa in (3) i (2):

$$\begin{gathered} A\left(x\right) = x(-x+\frac{P}{2})=-x^2+\frac{xP}{2}\Rightarrow A\text{'}\left(x\right)=-2x+\frac{P}{2} \\ Vi har att x är begränsad enligt: 0\le x\le \frac{P}{2} \end{gathered}$$

Lokala maximum (och minimum) finns i ändpunkter, singulära punkter (där A'(x) ej är def, men den är def överallt), och kritiska punkter.

Testar ändpunkter:

$$\begin{gathered} A\left(0\right) = -0^2+\frac{0·P}{2}=0 \\ A\left(\frac{P}{2}\right)=-{\left(\frac{P}{2}\right)}^2+\frac{{\displaystyle \frac{P}{2}}·P}{2}=-{\left(\frac{P}{2}\right)}^2+\frac{P^2}{2}·\frac{1}{2}=-{\left(\frac{P}{2}\right)}^2+{\left(\frac{P}{2}\right)}^2=0 \end{gathered}$$

Singulära punkter fanns ej.

Kritiska punkter:

$A\text{'}\left(x\right) = 0 \iff -2x + \frac{P}{2}=0 \iff -2x=-\frac{P}{2} \iff x = \frac{P}{4}$

Så om funktionen har ett maximum måste det finnas då $x=\frac{P}{4} (gör teckentabell och visa att detta är maximum)$

Från (3) kan vi få ut y:

$y=-x+\frac{P}{2}=-\frac{P}{4}+\frac{P}{2}=-\frac{P}{4}+\frac{2P}{4}=\frac{P}{4}$

Så vi har maximal area då $x=y=\frac{P}{4}$. Alltså när det är en kvadrat.

Boken måste väl nästan ha nämnt någonstans att kvadrater har störst area, jämfört med rektanglar med samma omkrets?

beerger skrev:

Boken måste väl nästan ha nämnt någonstans att kvadrater har störst area, jämfört med rektanglar med samma omkrets?

Tack så mycket för svaret men det är inte för Mate1. Jag vet inte hur jag ska vissa på min lärare men jag förstår hur en kvadrat har störste area än rektangel.

Tror inte det finns något bevis för det som passar matte1, detta är typ matte4 eller envariabelanalys på universitet

Vahid. skrev:

beerger skrev:

Boken måste väl nästan ha nämnt någonstans att kvadrater har störst area, jämfört med rektanglar med samma omkrets?

Tack så mycket för svaret men det är inte för Mate1. Jag vet inte hur jag ska vissa på min lärare men jag förstår hur en kvadrat har störste area än rektangel.

Om det inte är Ma1, varför har du då lagt tråden i Ma1? Vi som svararutgår ifrån att en tråd som ligger i Ma1 skall kunna läsas utan att man kan lösa en andragradsekvatin 8för det lär man sig i Ma2) och utan att derivera (för det lär man sig i Ma3).

Om man tar en rektangel som inte är en kvadrat och gör kortsidan lite längre, och långsidan precis lika mycket kortare, så har man inte förändrat omkretsen. Om man jämför med den ursprungliga rektangeln så har man skurit bort en tunn remsa vid kortsidorna och i stället lagt till lika smala remsor (men längre) vid långsidorna. Rektangeln har alltså fått större area.

Nåt sånt borde kunna gå hem redan på mellanstadiet. 

Smaragdalena skrev:

Vahid. skrev:

Visa föregående citat

beerger skrev:

Boken måste väl nästan ha nämnt någonstans att kvadrater har störst area, jämfört med rektanglar med samma omkrets?

Tack så mycket för svaret men det är inte för Mate1. Jag vet inte hur jag ska vissa på min lärare men jag förstår hur en kvadrat har störste area än rektangel.

Om det inte är Ma1, varför har du då lagt tråden i Ma1? Vi som svararutgår ifrån att en tråd som ligger i Ma1 skall kunna läsas utan att man kan lösa en andragradsekvatin 8för det lär man sig i Ma2) och utan att derivera (för det lär man sig i Ma3).

Han syftade nog på mitt bevis för varför en kvadrat har störst area.

Laguna skrev:

Om man tar en rektangel som inte är en kvadrat och gör kortsidan lite längre, och långsidan precis lika mycket kortare, så har man inte förändrat omkretsen. Om man jämför med den ursprungliga rektangeln så har man skurit bort en tunn remsa vid kortsidorna och i stället lagt till lika smala remsor (men längre) vid långsidorna. Rektangeln har alltså fått större area.

Nåt sånt borde kunna gå hem redan på mellanstadiet. 

Innebär det att en kvadrat inte har störste area än rektangel?

Om detta är problemet:

c)     Hur kan man få maximal area på området med bibehållen omkrets?

skulle man kunna kolla ett cirkulärt grönområde med omkretsen 140 m.

[Tror det är en klurighet från antiken...]

Vahid. skrev:

Laguna skrev:

Om man tar en rektangel som inte är en kvadrat och gör kortsidan lite längre, och långsidan precis lika mycket kortare, så har man inte förändrat omkretsen. Om man jämför med den ursprungliga rektangeln så har man skurit bort en tunn remsa vid kortsidorna och i stället lagt till lika smala remsor (men längre) vid långsidorna. Rektangeln har alltså fått större area.

Nåt sånt borde kunna gå hem redan på mellanstadiet. 

Innebär det att en kvadrat inte har störste area än rektangel?

Slutsatsen formulerade jag inte, men den är att man alltid kan få en större area från en rektangel som inte är en kvadrat. Har man en kvadrat fungerar det inte, och därför har kvadraten störst area. 

beerger skrev:

Tror inte det finns något bevis för det som passar matte1, detta är typ matte4 eller envariabelanalys på universitet

Jag har hittat svaret och jag har tänkt att det gör bra om jag visar på dig också.

Det är svaret.

140/3,14= 44,58

44,58/2=22,29

3,14*22,29^2= 1560m ^ 2

Det stämmer väldigt bra Vahid! Snyggt jobbat!

beerger skrev:

Det stämmer väldigt bra Vahid! Snyggt jobbat!

Tack så mycket