Ett problem i geometri...

Snart får du ge oss lösningen :)

Känns som en cirkel, men jag har inte ritat.

Gissar spontant på en ellips, en rät linje eller en hyperbel, beroende på om cirklarna skär varandra eller inte, men det är troligtvis fel. 

Dr. G skrev:

Gissar spontant på en ellips, en rät linje eller en hyperbel, beroende på om cirklarna skär varandra eller inte, men det är troligtvis fel. 

Intressant! :) Varför tror du att just kägelsnitt dyker upp här?

"(Svaret är häpnadsväckande! :O)"

Detta svar är irrelevant. Det frågas inte efter ett tal utan en Mängd. Jag hävdar att denna mängd är icke-tom tills annat bevisats. 

Darth Vader skrev:

Intressant! :) Varför tror du att just kägelsnitt dyker upp

Tror att det blir slutna kurvor om cirklarna ligger i varandra. 

Öppna kurvor om de ligger utanför varandra. 

En rät linje om cirklarna är lika stora. 

Ska rita lite om jag får tid. 

Dr. G skrev:

Aha

Det blir en del av en hyperbel när cirklarna inte ligger i varandra. 

Om de två cirklarna har radier R₁ respektive R₂ så kommer en tredje cirkel med radie R att tangera k₁ när avståndet mellan mittpunkterna är (R₁ + R). k₂ tangeras när avståndet mellan mittpunkterna är (R₂ + R). 

Skillnaden i avstånd från de två cirklarna mittpunkter till O är då R₁ - R₂, d.v.s konstant för alla (tillåtna) R (det finns ett minsta värde på R). 

O kommer då att ligga på hyperbeln som har fokus i de två cirklarnas mittpunkter (på hyperbelgrenen som går runt den mindre cirkelns mittpunkt. )

Spot on!

Men vad händer om den tredje cirkeln tangerar $k_{1}$ och $k_{2}$ invändigt? Eller när den tangerar den ena invändigt och den andra utvändigt?

Precis, fler fall att gå igenom. 

Någon som är sugen på att rita? Jag förstår nämligen inte ens frågan. 

MrPotatohead skrev:

Någon som är sugen på att rita? Jag förstår nämligen inte ens frågan. 

Frågan är att hitta alla punkter $O$ i planet sådana att det finns en cirkel $k$ med medelpunkt $O$, och där $k$ tangerar både $k_{1}$ och $k_{2}$. I figuren nedan är $O_{1}$, $O_{2}$ och $O_{3}$ exempel på sådana punkter där de blå cirklarna tangerar de röda (givna) cirklarna $k_{1}$ och $k_{2}$:

Idén är att hitta den resulterande "figuren" när man plottar alla sådana punkter $O$ med denna egenskap. Denna mängd kallas i matematiken för den geometriska orten (eng. locus). Tex. den geometriska orten för alla punkter $P$ som ligger på ett konstant avstånd $r$ från en given punkt $O$ är en cirkel $k(O,r)$ med medelpunkt $O$ och radie $r$.

Förstås, svaret beror ju på hur $k_{1}$ och $k_{2}$ är placerade. I detta fall är de disjunkta och ingen av dem ligger i det inre av den andra.

Denna typ av problem var populära på 1920-1940-talet. Man kallar lösningsmängden för "orten" och dessa kan få många spännande geometriska former beroende på hur problemet formuleras. Och Ja, de kan formuleras så de blir riktigt svåra. Ofta var det sistauppgiften på studentexamen när de förekom.

Då förstår jag. Det var just hur lösningsmängden skulle skapa en figur som var lite.. låt säga ovant eller svårt att få till i skallen. 

Tack så mycket!