10 svar
249 visningar
SuchdaKawaii 41
Postad: 23 jul 2023 11:57 Redigerad: 23 jul 2023 11:57

Eukledisk Geometri och Likformighet - Bevis

"Diagonalen  AC   i fyrhörningen ABCD  är samtidigt diametern i  den på fyrhörningen omskrivna cirkeln. Låt A1  vara en vinkelrät projektion av A   på diagonalen   BD  och låt  C1  vara en vinkelrät projektion av  C  på BD   . Visa att BC1  är lika lång som  DA1. "

Bilden ovan är min ritning av figuren och vad jag tror att man ska göra är att kunna använda likformiget. Jag har dessutom kommit fram till att  trianglarna B C C1 och B A A1 är likformiga + trianglarna D A A1 och D C C1 är likformiga. Enligt min uppfattning ska jag med några likformighetsekvationer och kanske substitutera bevisa att BC1 och DA1 är samma, men det är där jag har svårt.  Jag vet inte exakt vilka sidor av trianglarna jag ska kolla på.

En ytterligare sak jag vet är att DA1+A1B=BC1+C1D då båda längdena ska motsvara diametern på cirkeln, men sen vet jag inte heller om det är relevant.

Peter 1015
Postad: 23 jul 2023 18:37

Jag vet inte om du har använt att AC är en diameter. Det syns iaf inte i din figur. Att den är en diameter innebär att  att vinkeln ABC är en rät vinkel (randvinkelsatsen: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logik-och-geometri/randvinkelsatsen#!/). Det känns som att man behöver använda den informationen (annars hade de nog inte påpekat det).

SuchdaKawaii 41
Postad: 24 jul 2023 14:56 Redigerad: 24 jul 2023 14:58

Blir inte vinkeln ADC rätvinklig med? Fast hur ska det hjälpa?

Louis 3543
Postad: 24 jul 2023 18:05

Jo. Du har angivit två par likformiga trianglar.
Du kan då ställa upp två liformighetsekvationer,
som du efter omskrivning kan sätta samman till en
med figurens x, y och z. Den ger att x = z.

marlic123 10
Postad: 2 aug 2023 14:56

Hej,

Jag får att för likformiga trianglarna D A_1 A och C C_1 D att:

x/b=a/(x+y) vilket ger att a*b = x*(x+y)

Jag får att för likformiga trianglarna A A_1 B och B C_1 C att:

a/z=y/b vilket ger att a*b = y*z

 

Om jag kombinerar dessa uttryck får jag att:

x*(x+y) = y*z vilket ger att x^2=y*z - x*y, där z=x ger att x^2 = 0

 

Är det något jag missar?

Louis 3543
Postad: 2 aug 2023 16:03

Den andra ekvationen blir a/z=(y+z)/b.

Sättet du kombinerar ekvationerna är bra.
Sedan kan man göra lite olika.
Ett sätt är att samla allt i vänster led och faktorisera det.

marlic123 10
Postad: 23 aug 2023 13:14

Hej igen! Tack, hur kommer man fram till att trianglarna är likformiga?

Louis 3543
Postad: 23 aug 2023 18:22

Titta på de rödtonade trianglarna.
Båda har en rät vinkel.
De blåmarkerade vinklarna är tillsammans 90o (randvinkel på diametern AC).
På motsvarande sätt med det andra paret likformiga trianglar.
Klarar du resten?

marlic123 10
Postad: 24 aug 2023 13:46

Tack! Nu fick jag till det

emitren 3
Postad: 26 aug 13:44

Jag håller också på men denna uppgiften nu, och jag förstår inte riktigt hur jag argumenterar för likformigheten genom att använda randvinklarna

Louis 3543
Postad: 26 aug 17:18

Är du med på att vinkel ADC är 90o?

Då kan de två delvinklarna anges som alfa och 90o - alfa.

Vinkel DCC1 är också 90o - alfa (triangelns vinkelsumma).

Svara
Close