Eukledisk Geometri och Likformighet - Bevis
"Diagonalen AC i fyrhörningen ABCD är samtidigt diametern i den på fyrhörningen omskrivna cirkeln. Låt A1 vara en vinkelrät projektion av A på diagonalen BD och låt C1 vara en vinkelrät projektion av C på BD . Visa att BC1 är lika lång som DA1. "
Bilden ovan är min ritning av figuren och vad jag tror att man ska göra är att kunna använda likformiget. Jag har dessutom kommit fram till att trianglarna B C C1 och B A A1 är likformiga + trianglarna D A A1 och D C C1 är likformiga. Enligt min uppfattning ska jag med några likformighetsekvationer och kanske substitutera bevisa att BC1 och DA1 är samma, men det är där jag har svårt. Jag vet inte exakt vilka sidor av trianglarna jag ska kolla på.
En ytterligare sak jag vet är att DA1+A1B=BC1+C1D då båda längdena ska motsvara diametern på cirkeln, men sen vet jag inte heller om det är relevant.
Jag vet inte om du har använt att AC är en diameter. Det syns iaf inte i din figur. Att den är en diameter innebär att att vinkeln ABC är en rät vinkel (randvinkelsatsen: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logik-och-geometri/randvinkelsatsen#!/). Det känns som att man behöver använda den informationen (annars hade de nog inte påpekat det).
Blir inte vinkeln ADC rätvinklig med? Fast hur ska det hjälpa?
Jo. Du har angivit två par likformiga trianglar.
Du kan då ställa upp två liformighetsekvationer,
som du efter omskrivning kan sätta samman till en
med figurens x, y och z. Den ger att x = z.
Hej,
Jag får att för likformiga trianglarna D A_1 A och C C_1 D att:
x/b=a/(x+y) vilket ger att a*b = x*(x+y)
Jag får att för likformiga trianglarna A A_1 B och B C_1 C att:
a/z=y/b vilket ger att a*b = y*z
Om jag kombinerar dessa uttryck får jag att:
x*(x+y) = y*z vilket ger att x^2=y*z - x*y, där z=x ger att x^2 = 0
Är det något jag missar?
Den andra ekvationen blir a/z=(y+z)/b.
Sättet du kombinerar ekvationerna är bra.
Sedan kan man göra lite olika.
Ett sätt är att samla allt i vänster led och faktorisera det.
Hej igen! Tack, hur kommer man fram till att trianglarna är likformiga?
Titta på de rödtonade trianglarna.
Båda har en rät vinkel.
De blåmarkerade vinklarna är tillsammans 90o (randvinkel på diametern AC).
På motsvarande sätt med det andra paret likformiga trianglar.
Klarar du resten?
Tack! Nu fick jag till det
