2 svar
314 visningar
Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 aug 2020 23:00 Redigerad: 25 apr 2022 12:13

Euklides lemma

Sats. Om ett primtal delar produkten av två heltal så delar primtalet åtminstone en av faktorerna. 

Bevis. Låt primtalet pp dela produkten av heltalen aa och bb.

    a·b=p·λa\cdot b=p \cdot \lambda.

Anta att pp varken delar aa eller bb. Då är den största gemensamma delaren till aa och pp talet 11 och Bezouts identitet säger att det då existerar heltal (u,v)(u,v) sådana att

    pu+av=1pu+av=1.

Multiplicera denna likhet med bb för att få p·(bu+vλ)=b,p\cdot(bu+v\lambda) = b, vilken visar att pp delar bb. Denna motsägelse visar att primtalet pp delar åtminstone ett av talen aa och bb.

Affe Jkpg 6630
Postad: 29 aug 2020 11:23 Redigerad: 29 aug 2020 12:36

Faktoruppdela a och b, om dom nu inte redan är primtal:

a = a1 * … an
b = b1 * … bn

a1*...an* b1*...bnp=λ

λ är ett heltal om och endast om...

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 29 aug 2020 14:00
Affe Jkpg skrev:

Faktoruppdela a och b, om dom nu inte redan är primtal:

a = a1 * … an
b = b1 * … bn

a1*...an* b1*...bnp=λ

λ är ett heltal om och endast om...

Du lutar dig på Aritmetikens fundamentalsats, som bevisas med hjälp av Euklides lemma. Att bevisa Euklides lemma med hjälp av Aritmetikens fundamentalsats är trivialt, som du också noterat. 

Svara
Close