Euler Framåt: Problem att förstå notationen.

Det går inte att härleda den där formeln från derivatans definition, utan det går bara att hämta inspiration från definitionen.

Tanken är alltså att vi har en differentialekvation

$y\text{'}\left(t\right) =\hspace{0.17em}f\left(y\right), y\left(0\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{y}_0$

Där f(y) är någon funktion. För att hitta en approximativ lösning till denna ekvation så gör vi så att vi bara beräknar lösningen vid vissa tidpunkter. Vid t = 0, t = h, t = 2h, t = 3h, osv. Approximationen vid tidpunkten hk betecknar vi med $x_k$. Eftersom vi vet att $y\left(0\right) =\hspace{0.17em}{y}_0$ så sätter man $x_0=y_0$ och sedan beräknar vi $x_1,x_2,x_3,x_4,...$ med hjälp av den där formeln.

Ett exempel är om f(y) = y och $y_0=1$. Då låter vi alltså $x_0=1$ och vi kan välja ett tidssteg, säg h = 0.1, vilket ger att

$x_1=x_0+0.1*f\left(x_0\right) =\hspace{0.17em}1 + 0.1*f\left(1\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1 + 0.1*1 =\hspace{0.17em}1.1$

sedan får man

$x_2=x_1+0.1 * x_1=1.1 + 0.1*1.1 =\hspace{0.17em}1.21$.

Så approximativt kommer lösningen vid tidpunkten 0.1 vara 1.1 och vid tidpunkten 1.21 kommer den vara 1.21. Vill vi fortsätta beräkna lösningen under fler tidpunkter så är det bara att fortsätta beräkningarna.

Hej!

Du har en differentialekvation

    $\displaystyle X'(t) = f(X(t))$

som du vill lösa över tidsintervallet $0 \leq t \leq T.$ Om funktionen $f$ är icke-linjär (till exempel en sinusfunktion) så är det ofta omöjligt att finna exakta lösningar till ekvationen; istället får man nöja sig med approximativa lösningar.

Börja med att dela in tidsintervallet i delintervall (som inte behöver vara lika långa).

    $\displaystyle t_{0} \leq t_{1} \leq t_{2} \leq \cdots \leq t_{n}$ där $t_{0} = 0$ och $t_{n} = T.$

Vid varje tidpunkt ($t_{k}$) vill du bestämma en approximation ($x_k$) till funktionsvärdet $X(t_{k})$. Enligt Lagranges medelvärdessats gäller det att

    $\displaystyle X(t_{k+1}) - X(t_{k}) = X'(c) \cdot (t_{k+1}-t_{k})$

för något tal $c$ som ligger mellan tidpunkterna $t_{k}$ och $t_{k+1}$; Eulers framåtmetod bygger på att välja $c = t_{k+1}$ och Eulers bakåtmetod väljer $c = t_{k}$. För de approximativa funktionsvärdena betyder detta att

    $\displaystyle x_{k+1} - x_{k} = f(x_{k+1}) \cdot (t_{k+1}-t_{k}),$

där jag ersatt derivatan $X'(t_{k+1})$ med talet $f(X(t_{k+1}))$ enligt differentialekvationen, och sedan approximerat $f(X(t_{k+1}))$ med talet $f(x_{k+1})$. Eulers framåtmetod för att finna approximationer till differentialekvationen $X'(t) = f(X(t))$ är alltså

    $\displaystyle x_{k+1} = x_{k} + f(x_{k+1}) \cdot (t_{k+1}-t_{k})$ där $k = 0,1,2,..., (n-1)$.

Eftersom funktionen $f$ är icke-linjär så måste man lösa en icke-linjär ekvation för att finna talet $x_{k+1}$; detta kan vara komplicerat.

Eulers bakåtmetod för att finna approximationer är

    $\displaystyle x_{k+1} = x_{k} + f(x_{k}) \cdot (t_{k+1}-t_{k}).$

Här behöver man inte lösa någon icke-linjär ekvation för att finna talet $x_{k+1}$, utan det är bara att stoppa in talet $x_{k}$ och räkna ut vad högerledet $x_{k} + f(x_{k}) \cdot (t_{k+1}-t_{k})$ är.

Albiki

Tack som fan Stokastisk och Albiki, tror att jag börjar förstå hur det hänger ihop nu!