12 svar
93 visningar
Jezusoyedan är nöjd med hjälpen!
Jezusoyedan 95
Postad: 31 aug 2020

Eulers Stegmetod

Beräkna ett närmevärde till y(4) för den lösning till y' = y/x som uppfyller villkoret y(1)=2. Använd Eulers stegmetod och steglängden 1

Jag har fastnat och har försökt förstå mig på hur man använder sig av Eulers stegmetod (utan en programmerad räknare). 

Det som jag har kladdat:

x = 1 så är y=2

x4 = 4 så är y= y/4=8 så måste y vara 16. (jag vet att det är =8 pga använde mig av en programmerad räknare)

här kommer "mönstret" som jag har tagit fram dock förstår inte jag varför är det så 

2/1 -> 4/2 -> 8/3 -> 16/4 

emilg 355
Postad: 31 aug 2020

Villkoret ger dig att y' = 2 då x = 1. Vad är då en approximation till y(2)?

Eulers stegmetod

Eulers stegmetod går ut på att du vet en punkt, beräknar riktningskoefficienten i denna punkt, tar ett steg i den riktningen, beräknar riktningskoeffocienten i den nya punkten, tar ett steg i denna riktning och så vidare.

Nu skall du börja i punkten (1,2). Eftersom y'=y/x, d v s 2/1 är riktningskoefficienten 2. Om man går ett steg med riktningen 2 från punkten (1,2) hamnar man i punkten (2,4).

Nu är du i punkten (2,4). Riktningskoefficienten är 4/2=2. Om man går ett steg med riktningen 2 från punkten (2,4) hamnar man i punkten (3,6). 

Tar du sista steget själv?

Jezusoyedan 95
Postad: 31 aug 2020 Redigerad: 31 aug 2020

JAHAA,  6/3=2 så hamnar man i punkten (4, 8) 

Jezusoyedan 95
Postad: 31 aug 2020

men om det dyker upp en fråga med steglängden 2 gör man då såhär: 

(y/x) dvs 2/1, k värdet = 2 

och när jag tar ett steg så hamnar jag på 2,6? 

emilg 355
Postad: 31 aug 2020

Nej, steglängden är hur stort steg du tar i x-riktningen.

Jezusoyedan 95
Postad: 31 aug 2020

om du har tid, skulle du kunna ge någon exempel när steglängden är 2?

emilg 355
Postad: 31 aug 2020

Du kan ditt exempel och ändra steglängden till två.

Så vi börjar på x = 1, y = 2. Derivatan är 2/1 = 2. Sen tar du två steg i x-led. Ett steg => (2, 4), två steg => (3, 6). 

Ok så lite otur att vi kom till samma punkt (det beror på att derivatan i (2,4) också är 2).

emilg 355
Postad: 31 aug 2020

Vi kan ta ett annat exempel, där y' = y*x.

Om vi igen börjar i (1,2) och y' = 2. Så om vi har steglängd 1 så blir nästa punkt (2, 4) och sedan nästa (3, 12). Om vi stället har steglängd 2 blir nästa punkt (3, 6). 

Kontrollera så att jag räknat rätt :)

Albiki Online 5042
Postad: 1 sep 2020 Redigerad: 1 sep 2020

Hej J. O.,

Jag använder steglängden 3.

Steg 0. Här är x=1x=1 och y(1)=2y(1)=2. Det ger derivatan

    y'(1)=y(1)1=21=2.y'(1) = \frac{y(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(1,2)(x,y) = (1,2) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=2+2(x-1)y = 2+2(x-1).

Denna ekvation ska du använda i Steg 1.

Steg 1. Här är x=4x=4. Linjens ekvation från Steg 0 ger y-värdet y=2+2·(4-1)=8.y=2+2\cdot (4-1) = 8. Det ger derivatan

    y'(4)=84=2.y'(4) = \frac{8}{4} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(4,8)(x,y)=(4,8) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=8+2(x-4).y = 8+2(x-4).

Denna ekvation ska du använda i Steg 2.

Steg 2. Här är x=7x=7. Linjens ekvation från Steg 1 ger y-värdet y=8+2·(7-4)=14.y=8+2\cdot(7-4) = 14. Det ger derivatan

    y'(7)=147=2.y'(7) = \frac{14}{7} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(7,14)(x,y) = (7,14) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=14+2(x-7).y=14+2(x-7).

Denna ekvation ska du använda i Steg 3.

Steg 3. Här är x=10x=10. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

Albiki Online 5042
Postad: 1 sep 2020 Redigerad: 1 sep 2020

Det verkar som att Eulers metod hela tiden rör sig längs samma räta linje, den linje vars ekvation är y=2xy=2x.

Om man löser differentialekvationen

    dydx=yx\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}

får man att

    ln|y|=ln|x|+lnC\ln |y| = \ln |x| + \ln C

där konstanten CC bestäms av startvillkoret y(1)=2y(1) = 2. Om vi bara tillåter positiva x och y så ger logaritmlag sambandet y=Cxy=Cx, där startvillkoret ger C=2C=2

Eulers stegmetod sammanfaller i detta fall med den exakta lösningen till differentialekvationen. 

Jezusoyedan 95
Postad: 1 sep 2020
Albiki skrev:

Hej J. O.,

Jag använder steglängden 3.

Steg 0. Här är x=1x=1 och y(1)=2y(1)=2. Det ger derivatan

    y'(1)=y(1)1=21=2.y'(1) = \frac{y(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(1,2)(x,y) = (1,2) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=2+2(x-1)y = 2+2(x-1).

Denna ekvation ska du använda i Steg 1.

Steg 1. Här är x=4x=4. Linjens ekvation från Steg 0 ger y-värdet y=2+2·(4-1)=8.y=2+2\cdot (4-1) = 8. Det ger derivatan

    y'(4)=84=2.y'(4) = \frac{8}{4} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(4,8)(x,y)=(4,8) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=8+2(x-4).y = 8+2(x-4).

Denna ekvation ska du använda i Steg 2.

Steg 2. Här är x=7x=7. Linjens ekvation från Steg 1 ger y-värdet y=8+2·(7-4)=14.y=8+2\cdot(7-4) = 14. Det ger derivatan

    y'(7)=147=2.y'(7) = \frac{14}{7} = 2.

Du har nu en rät linje som går genom punkten (x,y)=(7,14)(x,y) = (7,14) och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    y=14+2(x-7).y=14+2(x-7).

Denna ekvation ska du använda i Steg 3.

Steg 3. Här är x=10x=10. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

så när x =10 och ekvationen i steg 2 ger y värdet = 14+2(10-7)=20. Det ger derivatan y'(10)=20/10 =2. Linjens ekvation blir alltså y=20+2(x-10) ??

Albiki Online 5042
Postad: 1 sep 2020
Jezusoyedan skrev:
Albiki skrev:

Hej J. O.,

[...]

Steg 3. Här är x=10x=10. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

så när x =10 och ekvationen i steg 2 ger y värdet = 14+2(10-7)=20. Det ger derivatan y'(10)=20/10 =2. Linjens ekvation blir alltså y=20+2(x-10) ??

Ja det stämmer!

Svara Avbryt
Close