Exakt differentialekvationer

Är det här sista steget? Man ska väl ta reda på mer om h(y)?

Det borde gå precis lika bra att integrera  m a p y. Vad händer om du provar det?

Det är inte så länge sedan du arbetade med konservativa vektorfält och deras potential. Det handlar om samma princip här.

Lösningsmetoden för exakta differentialekvationer baseras på följande tanke:

Givet en implicit kurva  $f(x,y) = C$ (där $y=y(x)$ enligt implicita funktionssatsen) så deriveras detta samband m.a.p. x. Enligt kedjeregeln får man:

$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\,f\left(x,y\left(x\right)\right) = \dfrac{d}{dx}\,C$

$\displaystyle\iff f^\prime_x\left(x,y\right) \dfrac{d}{dx}\,x + f^\prime_y\left(x,y\right) \dfrac{d}{dx}\,y = 0$

$\displaystyle \iff \underbrace{f^\prime_x\left(x,y\right)}_{=M(x,y)} \cdot 1 + \underbrace{f^\prime_y\left(x,y\right)}_{=N(x,y)} \cdot y^\prime = 0 \iff M\left(x,y\right) + N\left(x,y\right) \,y^\prime = 0$

d.v.s. sambandet mellan $f$ och $M$ med $N$ ges av

$\displaystyle \begin{pmatrix} f^\prime_x(x,y) \\ f^\prime_y(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M(x,y) \\ N(x,y) \end{pmatrix}$

För att lösa exakta differentialekvationen, så söker man alltså potential $f(x,y)$ till vektorfältet $( M(x,y), N(x,y))$.

• Det första de gör i videon är att kontrollera att detta vektorfält är konservativt, vilket det är ifall $M^\prime_y = N^\prime_x$.
• När man fastställt att vektorfältet verkligen är konservativt, så söker man potential $f$ så att $\nabla f = (M, N)$, d.v.s. $f^\prime_x = M$ och $f^\prime_y = N$ och därför $f(x,y) = \int M(x,y)\,dx$ respektive $f(x,y) = \int N(x,y)\,dy$

LuMa07 skrev:

Det är inte så länge sedan du arbetade med konservativa vektorfält och deras potential. Det handlar om samma princip här.

 

Lösningsmetoden för exakta differentialekvationer baseras på följande tanke:

Givet en implicit kurva  $f(x,y) = C$ (där $y=y(x)$ enligt implicita funktionssatsen) så deriveras detta samband m.a.p. x. Enligt kedjeregeln får man:

$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\,f\left(x,y\left(x\right)\right) = \dfrac{d}{dx}\,C$

$\displaystyle\iff f^\prime_x\left(x,y\right) \dfrac{d}{dx}\,x + f^\prime_y\left(x,y\right) \dfrac{d}{dx}\,y = 0$

$\displaystyle \iff \underbrace{f^\prime_x\left(x,y\right)}_{=M(x,y)} \cdot 1 + \underbrace{f^\prime_y\left(x,y\right)}_{=N(x,y)} \cdot y^\prime = 0 \iff M\left(x,y\right) + N\left(x,y\right) \,y^\prime = 0$

d.v.s. sambandet mellan $f$ och $M$ med $N$ ges av

$\displaystyle \begin{pmatrix} f^\prime_x(x,y) \\ f^\prime_y(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M(x,y) \\ N(x,y) \end{pmatrix}$

För att lösa exakta differentialekvationen, så söker man alltså potential $f(x,y)$ till vektorfältet $( M(x,y), N(x,y))$.

• Det första de gör i videon är att kontrollera att detta vektorfält är konservativt, vilket det är ifall $M^\prime_y = N^\prime_x$.
• När man fastställt att vektorfältet verkligen är konservativt, så söker man potential $f$ så att $\nabla f = (M, N)$, d.v.s. $f^\prime_x = M$ och $f^\prime_y = N$ och därför $f(x,y) = \int M(x,y)\,dx$ respektive $f(x,y) = \int N(x,y)\,dy$

Ja jag förstår. Så gradienten av f map på x är alltså en funktion M som beror av x och y som man döpt och sen grad f map på y är en funktion N som beror av x och y? Varför måste man derivera M map på y och inte x då f'_x(x,y)=M och f'_y(x,y)=N ? Man borde derivera N map på y och sen kolla om det är konservativt dvs om M'x=N'_y.

destiny99 skrev:

Varför måste man derivera M map på y och inte x då f'_x(x,y)=M och f'_y(x,y)=N ? Man borde derivera N map på y och sen kolla om det är konservativt dvs om M'x=N'_y.

Man vill ju kontrollera att $M$ och $N$ kommer från potentialen $f$.

Om de gör det, d.v.s. om det verkligen stämmer att $M = f_x^{\prime}$ och $N = f_y^{\prime}$, så får man att  $M_y^{\prime} = f^{''}_{xy}$ medan $N_x^{\prime} = f^{''}_{yx}$.

Genom att kontrollera att $M^{\prime}_y = N^{\prime}_x$, så kontrollerar man om $f^{''}_{xy} = f^{''}_{yx}$, vilket ju måste vara uppfyllt om potentialen $f$ är tillräckligt slät med tanke på att ordningen av derivator inte spelar någon roll.

Hade man kontrollerat  $M^{\prime}_x = N^{\prime}_y$, så skulle man kontrollera om $f^{''}_{xx} = f^{''}_{yy}$. Det finns dock ingen anledning varför $f^{''}_{xx}$ och $f^{''}_{yy}$ skulle vara lika. Derivatan m.a.p. xx och derivatan m.a.p. yy är ofta inte lika. (Därmed är ofta $M^{\prime}_x \ne N^{\prime}_y$ även om $f$ faktiskt är en potential till vektorfältet $(M,N)$, d.v.s. även om det faktiskt gäller att $\nabla f = (M,N)$)

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Varför måste man derivera M map på y och inte x då f'_x(x,y)=M och f'_y(x,y)=N ? Man borde derivera N map på y och sen kolla om det är konservativt dvs om M'x=N'_y.

Man vill ju kontrollera att $M$ och $N$ kommer från potentialen $f$.

Om de gör det, d.v.s. om det verkligen stämmer att $M = f_x^{\prime}$ och $N = f_y^{\prime}$, så får man att  $M_y^{\prime} = f^{''}_{xy}$ medan $N_x^{\prime} = f^{''}_{yx}$.

Genom att kontrollera att $M^{\prime}_y = N^{\prime}_x$, så kontrollerar man om $f^{''}_{xy} = f^{''}_{yx}$, vilket ju måste vara uppfyllt om potentialen $f$ är tillräckligt slät med tanke på att ordningen av derivator inte spelar någon roll.

---

Hade man kontrollerat  $M^{\prime}_x = N^{\prime}_y$, så skulle man kontrollera om $f^{''}_{xx} = f^{''}_{yy}$. Det finns dock ingen anledning varför $f^{''}_{xx}$ och $f^{''}_{yy}$ skulle vara lika. Derivatan m.a.p. xx och derivatan m.a.p. yy är ofta inte lika. (Därmed är ofta $M^{\prime}_x \ne N^{\prime}_y$ även om $f$ faktiskt är en potential till vektorfältet $(M,N)$, d.v.s. även om det faktiskt gäller att $\nabla f = (M,N)$)

Jaha ok så det kommer från när man deriverat igen första partiella derivator map på x dvs f''xy och sen map på y f"yx. Tack!!