Exeduinduktion

Hjäääälp en hjärnfattig med induktion!

Varifrån får du $\frac{1}{\sqrt{3n-1}}$?

Uppgiften säger ju:

$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

F... jag tror jag menade upphöjd till. Vänta ska kontrollera.

Ok jag försöker igen;

Basfall:

$\frac{1}{2}·\frac{3}{4}·\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}....\frac{2n-1}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

$\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 16}}\le \frac{1}{\sqrt{3·3+1}}$ som stämmer, men knappt.'

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}·\frac{3}{4}·\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}....\frac{2n-1}{2n}·\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\le \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} \\ \frac{1}{2}·\frac{3}{4}·\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}....\frac{2n-1}{2n}·\frac{2n+1}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \\ *den blå del är antagandet* \\ \frac{1}{\sqrt{3n+1}}·\frac{2n+1}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{gathered}$$

Så nu om jag multiplicerar med nämnarna får jag:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{3n+1}}·\frac{2n+1}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \\ \left(2n+1\right)\sqrt{3n+4}\le \sqrt{3n+1}\left(2n+2\right) \\ {\left(\left(2n+1\right)\sqrt{3n+4}\right)}^2\le {\left(\sqrt{3n+1}\left(2n+2\right)\right)}^2 \\ {\left(2n+1\right)}^2({\sqrt{3n+4)}}^2\le {\left(\sqrt{3n+1}\right)}^2{\left(2n+2\right)}^2 \\ \left(3n+4\right)\left(4n^2+4n+1\right)\le \left(3n+1\right)\left(4n^2+8n+4\right) \\ 12n^3+12n^2+3n+16n^2+16n+4\le 12n^3+24n^2+12n+4n^2+8n+4 \end{gathered}$$

19n är mindre än 20n, det ser bra ut. (?)

Precis, eftersom de övriga termerna är lika kan du ju subtrahera dem på båda sidor och få:

$19n\le 20n$

$19\le 20$

vilket stämmer.

Tack AlvinB!