Exempel på generaliserade integraler mha. likformigt konvergens

Varför borde det inte vara tillåtet? Om vi skalar bort alla detaljer är det den här uppdelningen de har gjort, och den är ju sann iaf för alla a mellan 0 och 1, även för tal som ligger väldigt nära 1.

Hej,

På intervallet $[0,a]$ konvergerar kontinuerliga funktionsföljden $(f_k)$ likformigt mot den konstanta funktionen $1$. Det medför att man kan skriva

    $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_0^{a}f_k\left(x\right)\,dx = \int_0^{a}\lim_{k\to\infty}f_k\left(x\right)\,dx = \int_0^{a}1\,dx = a$

• Frågan är vad som sker på det halvöppna intervallet $(a,1]$.

Över intervallet $[0,1]$ är funktionen $f_k$ begränsad uppåt av konstanta funktionen $1$ varför $f_k(x) \leq 1$ också på slutna intervallet $[a,1]$ så att integralen över halvöppna intervallet $(a,1]$ är begränsad uppåt av $1-a$

    $\displaystyle\int_{a}^{1}f_k\left(x\right)\,dx \leq \int_{a}^{1} 1\,dx = 1-a$.

Denna övre begränsning gäller samtliga funktioner $f_k$ varför

    $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_a^{1}f_k\left(x\right)\,dx \leq 1-a$.

Definiera funktionen

    $\displaystyle g\left(a\right) = \lim_{k\to\infty}\int_a^{1}f_k\left(x\right)\,dx$ där $0<a<1$.

Beräkningen visar att $0\leq g(a) \leq 1-a$ så om man vill att $g(a)$ ska vara $\epsilon$-nära talet 0 så går detta att uppnå genom att välja $a$ tillräckligt nära 1, mer specifikt så att $a>\delta$ där $\delta = 1-\epsilon$. Detta $\epsilon-\delta$ resonemang visar att $g(a) \to 0$ då $a\to 1$.

Resultat:

    $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_0^1 f_k(x)\,dx = 1.$